Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1. Лекция №2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

План:
линейных уравнений.
1.Системы
понятия.
2. Матричный метод решения СЛУ.
3. Формулы Крамера.
4. Метод Гаусса.
Основные

2. 1. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Системой линейных алгебраических уравнений,
содержащей т уравнений и п неизвестных,
называется система вида
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
....................................................
am1x1 am 2 x2 ... amn xn bm
аij , i 1, m; j 1, n
где числа
называются
коэффициентами системы, числа bi - свободными
членами. Подлежат нахождению числа xn .

3.

матричная форма системы A X B
А – матрица коэффициентов системы, называемая
основной матрицей:
a11 a12
a21 a22
А
...
...
am1 am3
... a1n
... a2n
... ...
... amn
x1
- вектор-столбец из неизвестных
x
X 2
...
xn
xi,
b1
b2 - вектор-столбец из свободных членов bi .
B
...
bm

4.

Расширенной матрицей системы называется матрица
A системы, дополненная столбцом свободных членов
a11 a12
a22
a
А 21
...
...
am1 am 2
... a1n b1
... a2n b2
... ...
...
... amn bm
Решением
системы называется п значений
неизвестных x1 c1, x2 c2, ... xn cn , при подстановке
которых все уравнения системы обращаются в
верные равенства.
Всякое решение системы можно записать в виде
матрицы-столбца
c1
c2
C
...
cn

5.

Система уравнений называется совместной, если она
имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если
она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если
она имеет единственное решение, и неопределенной,
если она имеет более одного решения.
В последнем случае каждое ее решение называется
частным решением системы.
Совокупность всех частных решений называется общим
решением.
Решить систему - это значит выяснить, совместна она
или несовместна. Если система совместна, найти ее
общее решение.

6. 2. Матричный метод решения СЛУ.

Пусть дана система n линейных уравнений с n
неизвестными
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
....................................................
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn
или в матричной форме A X B .
Основная матрица А такой системы квадратная.
Определитель этой матрицы
a11 ... a1n
Δ ... ... ... называется определителем системы.
an1 ... ann

7.

Если определитель системы отличен от нуля, то система
называется невырожденной.
Найдем решение данной системы в случае Δ 0 .
Умножив обе части уравнения A X B
слева на
матрицу А 1, получим
А 1 A X А 1 B .
Поскольку А 1 A Е
, то
X А 1 B
Отыскание решения системы данным способом
называют матричным способом решения системы.

8.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица
А11
А
А* 21
...
Аn1
А12
А22
...
Аn3
... А1n
... А2n
... ...
... Аnn
где Аij - алгебраическое дополнение элемента aij
данной матрицы А (оно определяется так же, как и
алгебраическое дополнение элемента определителя).

9. Обратная матрица

Матрица А 1 называется обратной матрице А,
если выполняется условие
,
А А 1 А 1 А Е
где Е - единичная матрица того же порядка, что и
матрица А.

10.

1
Матрица А
имеет те же размеры, что и матрица А.
Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Рассмотрим на примере алгоритм нахождения матрицы
обратной к данной.
Пример. Найти матрицу обратную данной с помощью
алгебраических дополнений.
1 0 0
А 0 1 0
3 1 2

11.

Решение.
1. Находим определитель матрицы .
1 0 0
Δ 0 1 0 2 0
3 1 2
2. Находим алгебраические дополнения к каждому
элементу матрицы А.
1 1 1 0
А11 1
1 2
2
1 2 0
А12 1
0
0
3 2
А13 1 1 3
0 1
3
3 1
2 1 0
0
0
1 2
А21 1
2 2 1
3 1 0
0
0
1 0
А31 1
А22 1
0
2
3 2
3 2 1
А32 1
0
0
0 0
А23 1 2 3
1 0
1
3 1
А33 1 3 3
1 0
1
0 1

12.

3. Составляем матрицу А *
из алгебраических
дополнений и матрицу АТ транспонированную к А *.
2 0 3
*
А 0 2 1
0 0 1
А 1
4. Находим матрицу
0 0
2
Т
А 0
2 0
3 1 1
по формуле 1
А
0 0 1
0
0
2
1 1
А 0
2 0 0
1
0
2
3 1 1 3 2 1 2 1 2
1
5. Проверка
.
А А
1
АТ .
Δ
Е
0
0 1 0 0
1 0 0 1
1
А А 0 1 0 0
1
0 0 1 0 Е
3 1 2 3 2 1 2 1 2 0 0 1

13.

Пример. Решить систему уравнений
5 x y z 0
x 2 y 3z 14
4 x 3 y 2 z 16
Решение:
x
5 1 1
0
X y , B 14 , A 1 2 3 .
z
16
4 3 2
Найдем обратную матрицу А 1 .
5 1 1
1. Δ 1 2 3 20 12 3 8 45 2 30 0 => матрица
4 3 2
1
А невырожденная, и существует обратная матрица А .

14.

2. Найдем алгебраические дополнения к каждому
элементу матрицы А.
3.
А11 5
А21 1
А31 1
А12 10
А22 14
А32 16
А13 5
А23 19
А33 11
1
1
30
5 1 1 6
1
1
7
1
А 10 14 16
3
30
15
19
5 19 11 1
30
6
1
30
8
15
11
30

15.

Находим матрицу Х.
1
1
30
x
6
1
7
X y A 1 B
3
15
z
1
19
30
6
1
14 16
0
30 0
30 30 1
8
98
128
2
14 0
15
15 15
11 16 266 176 3
0
30
30 30
Решение системы:
Проверка:
x 1; y 2; z 3.
5 1 2 3 0
1 2 2 3 3 14
4 1 3 2 2 3 16

16. 3. Формулы Крамера решения СЛУ.

Данный метод также применим только в случае систем
линейных уравнений, где число переменных
совпадает с числом уравнений. Кроме того,
необходимо ввести ограничения, чтобы определитель
матрицы системы не равнялся 0, т.е. Δ 0 .

17.

Теорема (Правило Крамера). Система из n уравнений с
n неизвестными
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...............................................
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn
в случае, если определитель матрицы системы не равен
нулю, имеет единственное решение и это решение
Δi
x
находится по формулам: i
, где - определитель
Δ
матрицы, а Δi - определитель матрицы, получаемой из
матрицы системы заменой i–го столбца столбцом
свободных членов bi.

18.

Таким образом, например, для системы уравнений,
состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными
имеем,
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
a x a x a x b
31 1 32 2 33 3 3
a11 a12
А a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
а11 a12
Δ а21 a22
а31 a32
a13
a23
- главный определитель матрицы.
a33
b1
Δ1 b2
b3
a13
a23
a33
a12
a22
a32
a11 b1
Δ2 a21 b2
a31 b3
Δ1
Δ2
Δ3
Тогда x1 , x2 , x3
Δ
Δ
Δ
a13
a23
a33
a11 a12 b1
Δ3 a21 a22 b2
a31 a32 b3
- формулы Крамера.

19.

Пример 3.2. Найти решение системы уравнений:
5 x y z 0
x 2 y 3z 14
4 x 3 y 2 z 16
Решение:
5 1 1
Δ 1 2 3 20 12 3 8 45 2 30 0
4 3 2
0 1 1
Δ1 14 2 3 48 42 32 28 30
16 3 2
5 0 1
Δ2 1 14 3 140 16 56 240 60
4 16 2
5 1 0
Δ3 1 2 14 160 56 210 16 90
4 3 16
Тогда
Δ1 30
Δ2 60
Δ3 90
x1
1, x2
2, x3
3 .
Δ 30
Δ 30
Δ 30

20. Метод Гаусса

Составляем расширенную матрицу
5 1 1 0
A 1 2 3 14
4 3 2 16
3 14
1 2
5
0
11
16
70
( 11)
0 5 10 40
1 2 3 14 ( 5) ( 4)
5
1
1
0
4 3 2 16
1 2
3
0 11 16
30
0 0
11
14
70
90
11

21. Записываем преобразованную систему и находим решение

x 2 y 3 z 14
0 x 11 y 16 z 70
30
90
0 x 0 y z
11
11
x 2 2 3 3 14
y 2
z 3
x 2 y 3 3 14
0 x 11y 16 3 70
z 3
x 1
y 2
z 3