Лекция 9. Производные основных элементарных функций, сложных, обратных функций

1. Лекция 9. Производные основных элементарных функций, сложных, обратных, функций, заданных неявно, параметрически.

1

2.

Таблица производных
1. y = c
2. y = xn
2a. y = x2
1
2b. y =
x
2c. y =
x
3. y = ax
3a. y = ex
4. y = logax
4a. y = ln x
5. y = sin x
6. y = cos x
7. y = tg x
8. y = ctg x
9. y = arcsin x
10. y = arccos x
11. y = arctg x
12. y = arcctg x
y' = 0
(производная постоянной величины = 0)
n–1
y' = nx
y' = 2x
1
y' = – 2
x
1
y' =
2 x
y' = ax · ln a
y' = ex
log a e
1
y' =
=
x
x ln a
1
y' =
x
y' = cos x
y' = – sin x
1
y' = sec2x =
cos2 x
1
y' = – csc2x = –
sin 2 x
1
y' =
1 x2
1
y' = –
1 x2
1
y' =
1 x2
1
y' = –
1 x2
2

3.

Th (О производной константы). Производная постоянной функции
тождественно равна 0.
Доказательство
Пусть f(x) = с.
y
f(x) = c
O
c
c
Dx
x
x+Dx
x
Возьмем произвольную точку x. Придадим аргументу в этой точке
некоторое приращение Δx. Найдем соответствующее приращение функции
Δy = f(x + Δx) – f(x) = c – c = 0.
Поэтому
Dy
0
f x lim
lim
lim 0 0 .
Dx 0 Dx
Dx 0 Dx
Dx 0
Ч.т.д.
3

4.

Th (О производной суммы, произведения и частного). Пусть функции u =
u
u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке x0. Тогда функции u ± v, u·v, (v ≠ 0)
v
также дифференцируемы в точке x0 и при этом:
1. y = u ± v
y' = (u ± v)' = u' ± v'
2. y = u·v
y' = (u·v)' = u'·v + u·v'
u v u v
u
u
3. y =
y' = =
v
v2
v
Эти формулы называют также правила нахождения производных.
Доказательство
Докажем правило 1.
Придадим аргументу x в точке x0 некоторое приращение Δх ≠ 0. Функции
u и v при этом получат некоторые приращения
Δu = u(x0 + Δх) – u(x0)
Δv = v(x0 + Δх) – v(x0),
а функция y = u ± v получит некоторое приращение
Δy = y(x0 + Δх) – y(x0) = [u(x0 + Δх) ± v(x0 + Δх)] – [u(x0) ± v(x0)] =
= [u(x0 + Δх) – u(x0)] ± [v(x0 + Δх) – v(x0)] = Δu ± Δv.
Поэтому
Dy
Du Dv
Du
Dv
y lim
lim
lim
lim
u v
Dx 0 Dx
Dx 0
D
x
0
D
x
0
Dx
Dx
Dx
Ч.т.д. 4

5.

Мы воспользовались тем, что по условию теоремы указанные пределы
существуют и равны соответствующим производным.
Докажем правило 2.
Все приращения функций в точке используем из доказательства правила
1. Так как y = u·v, то
Δy = y(x0 + Δх) – y(x0) = u(x0 + Δх)·v(x0 + Δх) – u(x0)·v(x0) =
= u(x0 + Δх)·v(x0 + Δх) – u(x0)·v(x0 + Δх) + u(x0)·v(x0 + Δх) – u(x0)·v(x0) =
= v(x0 + Δх)·[ u(x0 + Δх) – u(x0)] + u(x0)·[v(x0 + Δх) – v(x0)] =
= v(x0 + Δх)·Δu ± u(x0)·Δv.
Составим отношение
Dy v x0 Dx Du u x0 Dv
(1)
Dx
Dx
Прежде, чем переходить к пределу в равенстве (1), заметим следующее:
lim v x0 Dx lim v x0 v x0
Dx 0
Dx 0
Последний шаг справедлив, поскольку v непрерывна в точке x0.
Непрерывность вытекает из дифференцируемости функции в этой точке.
По условию
Du
Dv
lim
u x0 ; lim
v x0 .
Dx 0 Dx
Dx 0 Dx
Перейдем теперь к пределу в равенстве (1)
v x0 Dx Du u x0 Dv
Dy
y x0 = lim
lim
Dx 0 Dx
Dx 0
Dx
Du
Dv
lim v x0 Dx lim
lim u x0 lim
v x0 u x0 u x0 v x0
Dx 0
Dx 0 Dx
Dx 0
Dx 0 Dx
или, короче
(u·v)' = u'·v + u·v'
5
Ч.т.д.

6.

Докажем правило 3.
Все приращения функций в точке используем из доказательства правила
u
1. Так как y = , то
v
u x0 Dx u x0
u x0 Dx v x0 v x0 Dx u x0
Δy =
=
=
v x0 Dx v x0
v x0 Dx v x0
u x0 Dx v x0 u x0 v x0 u x0 v x0 v x0 Dx u x0
=
=
v x0 Dx v x0
v x0 u x0 Dx u x0 u x0 v x0 Dx v x0
v x0 Du u x0 Dv
=
=
v x0 Dx v x0
v x0 Dx v x0
Составим отношение
Du
Dv
v x0
u x0
Dy
Dx
Dx
(2)
Dx
v x0 Dx v x0
Переходя к пределу в равенстве (2), получаем:
Du
Dv
v x0
u x0
Dy
Dx
Dx v x0 u x0 u x0 v x0
lim
y x0 = lim
Dx 0 Dx
Dx 0
v x0 Dx v x0
v 2 x0
или, короче
u v u v
u
=
v2
v
Ч.т.д.
6

7.

Замечание. Нами доказана формула для производной суммы двух
слагаемых. Она оказывается справедливой и для любого конечного числа
слагаемых:
[u1(x) ± u2(x) ± … ± un(x)]' = u1'(x) ± u2'(x) ± … ± un'(x)
Мы доказали формулу (u·v)' = u'·v + u·v', рассмотрим, как будет выглядеть
формула для трех сомножителей:
(u·v·w)' = (u·v)'·w + (u·v)·w' = (u'·v + u·v')·w + u·v·w' = u'·v·w + u·v'·w + u·v·w'
Окончательно:
(u·v·w)' = u'·(v·w) + v'·(u·w) + w'·(u·v)
Аналогично можно доказать и для n сомножителей:
(u1·u2·…·un)' = u1'·(u2·…·un) + u2'·(u1·u3·u4·…·un) + … + un'·(u1·…·un–1)
Следствие. Постоянную можно выносить за знак производной (свойство
однородности производной).
[k·f(x)]' = k·f '(x)
Действительно: [k·f(x)]' = k'·f(x) + k·f '(x) = 0 + k·f '(x) = k·f '(x).
7

8.

Th (О производной обратной функции). Пусть имеется функция y = f(x) и
x = g(y) – обратная ей функция. Обе функции предполагаются непрерывными.
Пусть, далее существует производная f '(x0) ≠ 0 в некоторой точке x0. Тогда в
соответствующей точке y0 = f(x0) существует производная обратной функции и
она равна:
1
g'(y0) =
f x0
т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной
прямой функции.
Доказательство
Придадим аргументу x в точке x0 некоторое приращение Δх ≠ 0, тогда y
получает соответствующее приращение
Δy = f(x0 + Δх) – f(x0); Δy ≠ 0.
Придадим y в точке y0 некоторое приращение Δy ≠ 0, тогда x получит
соответствующее приращение
Δx = g(y0 + Δy) – g(y0); Δx ≠ 0.
(Если бы Δx = 0, тогда было бы f(x0 + Δх) = f(x0) Δy = f(x0 + Δх) – f(x0) = 0, что
не так)
Составим отношение
1
Dx
(3)
Dy Dy
Dx
8

9.

Перейдем к пределу в равенстве (3) при Δy → 0, что Δx → 0. Это
справедливо потому, что функции f и g непрерывны по условию (бесконечно
малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение
функции).
Dx
1
1
lim
lim
x y y0
Dy 0 Dy
Dy 0 Dy
y x 0
Dx
или, в исходных обозначениях
1
g'(y0) =
f x0
Ч.т.д.
9

10.

Докажем некоторые из формул таблицы производных.
Доказательство формулы 2.
Для случая n N.
Придадим аргументу в точке x некоторое приращение Δх ≠ 0, тогда y
получает соответствующее приращение
n n 1 n – 2
Δy = (x + Δх)n – xn = xn + nxn – 1Δx +
x (Δx)2 + … + (Δx)n – xn.
2
Dy
Перейдем к пределу отношения
:
Dx
n n 1 n 2
2
n
nx n 1Dx
x Dx Dx
Dy
2
= nxn – 1
lim
lim
Dx 0 Dx
Dx 0
Dx
Ч.т.д.
Для случая n R. Обозначим n = α.
Dx
x 1
1
Dx
x
x
Dy
x Dx x
x =
lim
lim
lim
lim
Dx 0 Dx
Dx 0
Dx 0
Dx 0
Dx
Dx
Dx
x
=
= αxα – 1
x
При вычислении предела мы воспользовались следующей эквивалентной
бесконечной малой: (1 + x)α ~ αx + 1.
Ч.т.д.
10

11.

Доказательство формулы 5 y = sin x.
Придадим аргументу в точке x некоторое приращение Δх ≠ 0, тогда y
получает соответствующее приращение
Dx
Dx
Δy = sin(x + Δx) – sinx = 2sin ·cos x
2
2
Составим отношение:
Dx
Dx
Dx
2 sin
cos x
sin
Dy
2
2
2 cos x Dx
=
Dx
Dx
2
Dx
2
Dy
Перейдем к пределу отношения
:
Dx
Dx
Dx
sin
sin
Dy
2 cos x Dx lim
2 lim cos x Dx cos x
lim
lim
Dx 0 Dx
Dx 0 Dx
2 Dx 0 Dx Dx 0
2
2
2
Ч.т.д.
Аналогично доказывается формула (cosx)' = – sinx.
11

12.

n
Доказательство формулы 2 y = x ,
n–1
y' = nx .
Для случая n N.
Придадим аргументу в точке x некоторое
приращение Δх ≠ 0, тогда y получает
соответствующее приращение
n
n
n
n–1
Δy = (x + Δх) – x = x + nx Δx +
n n 1 n – 2
2
n
n
+
x (Δx) + … + (Δx) – x .
2
12

13.

Dy
Перейдем к пределу отношения
:
Dx
Dy
lim
Dx 0 Dx
n n 1 n 2
2
n
n 1
nx Dx
x Dx Dx
2
lim
Dx 0
Dx
n–1
= nx
Ч.т.д.
13

14.

Для случая n R. Обозначим n = α.
Dy
x Dx x
lim
lim
Dx 0 Dx
Dx 0
Dx
Dx
Dx
x 1 1
x
x
x
lim
lim
Dx 0
Dx 0
Dx
Dx
x
α–1
=
= αx
x
При
вычислении
предела
мы
воспользовались следующей эквивалентной
α
бесконечной малой: (1 + x) ~ αx + 1.
14
Ч.т.д.

15.

Доказательство формулы 5 y = sin x.
Придадим аргументу в точке x некоторое
приращение Δх ≠ 0, тогда y получает
соответствующее приращение
Dx
Dx
Δy = sin(x + Δx) – sinx = 2sin ·cos x
2
2
Составим отношение:
Dx
Dx
D
x
2 sin cos x sin
Dx
Dy
2
2
2
cos x
=
Dx
Dx
2
Dx
2
15

16.

Dy
Перейдем к пределу отношения
:
Dx
Dx
sin
Dy
Dx
2
lim
lim
cos x
Dx 0 Dx
Dx 0 Dx
2
2
Dx
sin
Dx
2
lim
lim cos x cos x
Dx 0 Dx
Dx 0
2
2
Ч.т.д.
Аналогично доказывается формула
16
(cosx)' = – sinx.

17.

Доказательство формулы 7 y = tg x,
1
(tg x)' =
2
cos x
Действительно
sin x sin x cos x cos x sin x
tgx
2
cos x
cos x
cos 2 x sin 2 x
1
2
2
cos x
cos x
Аналогично доказывается формула
1
(ctg x)' = 2 .
sin x
Ч.т.д.
17

18.

Доказательство формулы 9 y = arcsin x,
1
y' =
2
1 x
Рассмотрим функцию y = arcsin x.
Обратная к ней функция x = siny. На
интервале ; выполняются условия
2 2
теоремы о производной обратной функции.
Действительно xy' = cosy ≠ 0.
Таким образом, по указанной теореме:
1
1
1
1
y x
2
2
x cos y
1 sin y
1 x
18
Ч.т.д.

19.

В последнем выражении квадратный
корень берется со знаком «+», поскольку cosx
на ; положительный.
2 2
Аналогично доказывается формула
1
y = arccos x, y' = –
.
2
1 x
19

20.

Доказательство формулы 11 y = arctg x,
1
y' =
2
1 x
Рассмотрим обратную функцию x = tgy.
При y ; удовлетворяет условиям
2 2
теоремы о производной обратной функции.
1
Действительно xy' =
≠ 0 при y
2
cos y
; . В силу указанной теоремы
2 2
20

21.

1
1
1
1
2
y x cos y
2
2
2
x
sec y 1 tg y 1 x
Ч.т.д.
Здесь использовано тригонометрическое
2
2
соотношение: 1 + tg α = sec α
Аналогично доказывается формула
1
y = arcctg x, y' = –
.
2
1 x
21

22.

Th (О производной сложной функции).
Пусть имеется композиция функций
f
X
U Y
x0 X; u0 U; y0 Y;
u0 = φ(x0); y0 = f(u0);
По сути дела имеем сложную функцию
y = f(φ(x)).
22

23.

Пусть функция φ дифференцируема в
точке x0 (т.е. существует φ'(x0)), а функция
f дифференцируема в точке u0 = φ(x0) (т.е.
существует f '(u0)), тогда сложная функция
y = f(φ(x)) также дифференцируема в точке x0
и при этом
y x x0 yu u0 u x x0
или, короче
y x yu u x
Без доказательства
23

24.

Понятие функции, заданной
параметрически.
Определение. Пусть заданы уравнения:
x=Φ(t)
(2) ,
y=Ψ(t)
где t T– промежутки, причём функция
x = Φ ( t ) имеет обратную функцию x = Φ -1 ( x),
тогда определена функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) ) =
=ɸ ( x ) – эта функция называется функцией ,
заданной параметрически уравнениями (2).
24

25.

x = sin t
Пример. Пусть
, t [ ; ] ,
y = cos t
2 2
t= arcsin x , т.к. на [ ; ] sin имеет обрыв
2 2
y= cos(arcsin x) 1 x 2
( …), т.к.
y > cos(arcsin x) > 0 на [ ; ] .
2 2
25

26.

Теорема (о производной функции, заданной
параметрически). Пусть функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) )
задана параметрически уравнениями
x = Φ ( t ) , t T , причём функции Φ ( t )
y=Ψ(t)
и Ψ ( t ) дифференцируемы в некоторой точке t0 и
Φ (t0) ≠ 0. Тогда функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) )
дифференцируема в точке x0 и её производная
может быть найдена по формуле:
dy
dy dt
(t 0)
y x (x0)=
,т.е. dx dx
Ф (t 0)
26
dt

27.

Доказательство
Рассмотрим функцию y = Ψ (Φ -1 ( x ) ). Она
является композицией двух функций. Её
производная в точке x0 :
t' (t 0) ' (t 0)
=
y x (x0)= Ψt (t0) t x (x0) =
(*)
Фt' (t 0) Ф' (t 0)
Равенство (*) справедливо в силу теоремы
о производной обратной функции.
27