Физика волновых явлений

1. Волны

2.

Волны - процесс распространения колебаний в пространстве.
Обусловлен наличием связей
Механизм – возмущение распростр.
Упругие (механ.) волны
Между частицами среды действуют действуют силы
упругой связи
1. Перпендикулярно направлению распространения волны
– поперечные волны.
2. Вдоль направления распространения волны –
продольные.
Поперечные когда упругая деформация
сдвига.
Продольные – упругая деформация сжатия
и растяжения.

3. Бегущая волна

Предположим поперечное сечение
стержня не деформируется.
Оно колеблется
перпендикулярно (сдвиг) или
продольно (растяж – сжат.)
Z=0
Z
(Затухание не учитывается)
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе,
называется поверхностью волны
Z

4.

пусть x z 0 a sin t (1)
Остальные сечения кол. вынужд.
колеб. А всех колебаний
одинакова. Потери не
учитываются
в точке A x A a sin ( t ) (2)
z
z
x a sin ( t ) (3)
V
V
2
t
z
или учитывая
: x a sin 2 (
) (4)
T
T TV

5.

Длина волны
Расстояние, на которое распространяется
волна за один период колебаний частиц.
V
(5) VT
z
t
x
a
sin
2
Подставим (5) в (4)=>
T
(6)
Уравнение бегущей
x a sin 2 t z
волны
Из (1) и (6)
отставание по фазе
точки с координатой z
Разность фаз
x
z 2 z1
1 2 2
(8)
z
z
2
(7)
- это кратчайшее
расстояние между точками,
колеблющимися в
одинаковых фазах

6.

x
V
1
z
2
V
z
z V t t
2 для t t
T
1 для t
Графики (семейство) x=x(z)
Для поперечной B дают: величину, знак смещения и
конфигурацию частиц в момент t
Для продольной только величину и знак для
обратной B
x a sin
z
t
V

7.

Колебательная скорость частиц
Для данной частицы z=const (фиксир.)
x
z
тогда
x a cos t
t
V
x f (z) для фиксир. t
x
z
x
z
z z
z

8.

Относительная деформация и напряжение в
среде при распространении волны.
Если z смещ. на x а z+ z на x+ x, то
абсолютная деформация отр. z равна x, а
относительная:
x
z
В пределе
x
a
z
x
т.е.
cos t
z
V
V
V
z
z
x z x
x x
Относительная
деформация
(сдвига-сжатия)
a
z
з н Гука : k k
cos t
V
V
Модуль упругости
z z
Напряжение
(сдвига,
напряжениясжатия)

9.

Закон Гука
- механическая мера внутренних сил при
деформации материала.
k
-модуль упругости
k
Модуль сдвига G (попер.)
Модуль Юнга Е (прод.)
k
дина Н
k, (
, 2)
2
см м
Составляющие деформации в данной точке являются
линейными и однородными функциями составляющих
напряжения.

10. Уравнение Даламбера

11.

x
f S kS
(2.1)
z
x
f2
x
arctg
z z dz
x
arctg
z z
f1
z
z
z
x
f1 Sk z Sk (2.2)
z z
z z
f 2 Sk z z
x
Sk
(2.3)
z z z
Надо найти равнодействующую F сил f1 и f2 и массу участка
z ( m )
Тогда находится ускорение уч. z

12.

m S z (2.4)
плотность матер. стержня.
Выражаем z z через z и приращение деформации на
протяжении z разлог. деф. В ряд Тейлора вблизи z
z z
z z
3
2
2
3
z z
z
z
(2.5)
2
3
z
2! z
3! z
z z (2.6)
2
z
x
x x
тогда z z
2 z (2.7)
2x
f 2 f1 kS 2 z (2.8)
z
z z z
z z
z
x
2x
x
F f 2 f1 kS
kS 2 z (2.9)
z
z z z z z
Ускорение, приобретаемое стержнем
2x
F
kS z 2 x
(2.10)
2
2
t
m
m z
Уравнение Даламбера
x x
(2.11)
2
2
z
k t
2
2

13.

2U 2U 2U 2U
2 2
(2.11' )
2
2
x
y
z
k t
Резюме:
k
1.
Единственное предположение
2.
Уравнение Даламбера справедливо для распространения движения
любого характера в среде с линейной мех. характеристикой и в
случае квазиупругих волн.
3.
Волновому уравнению удовлетворяют бегущие волны
z
x a sin ( t )
V
а также вообще периодический сигнал, смещение в котором есть
2 x 2
тогда
2 f ' ' 2
2
2
x
1
x
z
V
( 2.15)
2
2
2
2
z
V t
x
2
и по t
f ''
2
t
f [ ( t
z
)]
V
все физические параметры В.
ср. 2.11 1
x
;
V
k
/
смещение
x
,
колеб
.
скор
.
и 2.15 V 2 k
t
, перед. с этой скоростью
Скорость распространения упругих волн

14.

V2
k
k
;V
(3.1)
Уравнение (3.1) удобно для расчета V при
известных k и
Скорость распространения упругой волны в
твёрдом теле
Vпрод E / (3.2)
Vпопер G / (3.3)
Где:
Е – модуль Юнга
G – модуль сдвига.
Скорость распространения упругой волны в
жидкости
В жидкости волны продольные
E E
V E/
l
l
P гидростат давление,
V
для жидкости E
P вызыв. сжатие V
V
( ) сжатие
модуль объёмного
P
1
E
V / V
сжатия
Коэф. Сжимаемости
жидкости
1
V

15.

Скорость распространения упругой волны в газе
V
(3.9) ( ) сжатие.
V
(3.10) E V
V
P E
Теплообмен между сгущ и разряж не
успевает – процесс распр упругой волны
- адиабатический
Для расчёта V надо найти E исходя из 3.10 и уравнения адиабаты
PV const (3.11) при малом приращении
PV 1dV V dP
V2
отсюда V P /
P
RT
V
E
Из уравнения Клапейрона-Менделеева:
масса моля
R газовая постоянная
RT
Vср квадр
Похоже на среднеквадр скорость молекул в газе
3RT

16. Энергия, переносимая волной

17. Потенциальная энергия

Упругий образец длиной l растягивается силой f. Во всём
образце одно и то же напряжённое состояние - напряжение
S – поперечное сечение. Под действием силы
f образуется удлинение l
f
S
l
l
k Гука
k
k
2
V
,V
f l 1
A
S l
lS
V (4.1)
2
2
2
2
Удельная энергия, запасённая в
единице объёма – плотность
энергии (Pпот )
Pпот
W k 2 2
2
V
2
2
2k 2 V 2
f
S
Работа
растяжения
упругого
тела=полной
потенциальной
энергии упругой
деформации,
накопленной в
теле
(4.2)
(4.2) полученное при однородном напряжённом состоянии
пригодно и для неоднородного (бегущие волны), когда V
настолько мало, что напряжённое состояние в различных его
точках можно считать одинаковым. (4.2) даёт мгновенные
значения P( , )

18.

Кинетическая энергия волны
Рассматривается плоская волна,
распространяющаяся в направлении z вдоль тонкого
стержня сечением S. В участке стержня Sdz
заключена энергия движения частиц в
распространяющейся волне.
если dz
, то можно считать, что все частицы, отр. dz,
движутся с одинаковыми скоростями x
dm Sdz
x 2dm x 2
dWкин
S dz
2
2
V
2
x
Pкин
(4.3)
2
Мгновенное значение плотности кинетической энергии,
выраженное через значение (мгновенное) колебательной
скорости x

19.

Pпот=Pкин
x x
k ,
z V
x
k
V
k
2
V , k V 2
V x
Для любой точки бегущей волны мгновенные
значения плотности потенциальной и
кинетической энергии равны друг другу.
Докажем:
Pпот
2
V 2 2 x 2 x 2
Pкин (4.4)
2
2
2 V
2 V
2
Мгновенное значение плотности
полной энергии
P Pпот Pкин
2
2
x x (4.5)
2
V
V
мгнов. значение P( , x )

20.

Явная зависимость мгновенного значения
плотности энергии от координат и времени
z
x a sin t
V
z
z
2
P x a cos t Pmax cos t
V
V
2
2
2
2
z
Pmax
z
x a cos t
V P 2 1 cos 2 t V (4.6)
1
2
cos (1 cos 2 )
2
max
max x max
2 2
2
См (4.5) Pmax a
x max
(4.7)
2
V
V
Согласно (4.6) при распространении В происходит перенос
энергии. Скорость переноса энергии зависит от скорости
передачи смещения, колебательной скор. частиц и деформации
в среде, вследствие некоторой связи энергии с этими
величинами.
Частота колебания Р= удвоенной частоте колебаний
x, x и

21.

Плотность потока энергии (вектор
Умова)
dW
dt
Энергия через
данное сечение за
единицу времени
W
W
T
d
J
dSn
Плотность потока-поток
энергии за единицу
времени на единицу
площади,
перпендикулярно
направлению переноса
dW P Sdz
SPmax
Pmax S
z
W S P dz
1
cos
2
t
dz
2 0
2
V
0
W Pmax
2max
x 2max max x max
Pср
2
S
2
2V
2
2V
W PсрS
Pср S V
T
T
max
x max
D
; x 2
2
2
2D
J Pср V Vx x D
V
2
D

22. Волновое (акустическое сопротивление среды)

(1) позволяет установить связь напряжения , возникающего в
среде при прохождении волны, со скоростью x колеблющейся частицы.
Уравнение
2 (2)
x
| | ;
;
2 (3)
2 x x (4)
Коэффициент пропорциональности , связывающий значение напряжения в
данной точке среды с мгновенным значением скорости этой точки, называется
волновым (звуковым или акустическим) сопротивлением среды
Волновое сопротивление – весьма важная характеристика среды: при переходе
волны из одной среды в другую или при отражении волны от границы двух сред,
значение коэффициентов отражения и проникновения целиком определяются
отношением волновых сопротивлений граничащих сред.

23.

Вещество
Скорость
распространения
волн, см / с
Воздух
Вода
Медь
Ртуть
Резина
3,3 10 4
1,4 105
4,6 105
1,5 105
3,0 103
Плотность,
г / см 3
1,3 10 3
1,0
8,9
13,6
0,95
Акустическое
сопротивление,
г / с. см 2
43
1,4 105
4,1 106
2,0 106
2,9 103
Из (4) следует, что отношение совершающих гармоническое колебание напряжения
в среде и колебательной скорости x частиц остаётся неизменным во времени:
(5)
x
Неизменность отношения мгновенных значений и x имеет место
только в плоской волне. Здесь всегда справедливы следующие отношения
для амплитудных и действующих значений этих величин:
max x max ;
Д x Д
(6)

24. Уравнение сферической волны

25.

В изотропной среде на расстоянии r от источника
r
x a r sin t
- обратить внимание на следующее:
(1)
1. Колебания каждой точки отстают по фазе от колебаний
предыдущей точки.
Тогда разность фаз между ними:
r
r
2
(2)
2. Поверхность волны (Г.М.Т., колеблющихся в одинаковых
фазах) определяется (2) и является сферической
поверхностью.
Такие волны называются сферическими.

26.

3. Лучи (направления распространения колебательной энергии) в
изотропной среде перпендикулярны поверхности волны
поверхности волны и лучи образуют два ортогональных
семейства
луч
поверхностьволны
4. Длина сферической волны –
кратчайшее расстояние (по лучу)
между двумя точками,
колеблющимися в одинаковых
фазах.
5. Амплитуда
a
колебаний
точек среды – убывающая функция r, т.к
r
колебание, по мере удаления от источника, распространяется на всё
большее количество точек
интенсивность волны (плотность потока энергии) уменьшается с
удалением от источника.

27.

Зависимость амплитуды колебаний от расстояния
Если в среде нет
поглощения:
r2
r1
Ф1 Ф2 ; J1 4 r12 J 2 4 r22 ;
J1 r22
2
J 2 r1
А
(3)
где J - плотность потока энергии (интенсивность)
из (3) следует
y1 a12
2
J2 a 2
2 2
a
2
(4) , ( т.к. J x
)
2
тогда – амплитуда колебаний
частиц обратно пропорциональна
расстоянию от источника
a1 r2
a 2 r1
(5)

28.

примем уcловие: наименьшее расстояние от источника колебаний, на
котором источник можно считать точечным и волну сферической
амплитуда на этом расстоянии
тогда:
r0
a0
a 0 r0
ar
. Подставим в (1)
r
Получим уравнение сферическо й волны :
a 0 r0
r
x
sin t
r
( 6)
Колебательная скорость частицы в сферическо й волне :
a 0 r0
r
x
cos t
r
(7)

29.

При распространении сферической волны между колебаниями напряжения
в среде (пропорциональной ему относительной деформации
) и скорости
частиц есть разность фаз .
x
x
| | | k | k
,
r
2 a 0 r0
r a 0 r0
r
| |
sin t
cos t
2
r
r
(8)
Колебание напряжения может быть представлено как сумма
двух колебаний:
Одного в той же фазе, что и скорость
и другого,
x
сдвинутого по фазе на 900

30.

0
x
45o
x
Среднее значение J:
J д x д cos

31. Стоячие волны

32.

Рассмотрим волновой режим в системе, линейные
размеры которой равны небольшому числу длин
волн. В этом случае практически всегда
наблюдаем не падающую и отражённую волны, а
результат их суперпозиции
Стоячая волна –
результат суперпозиции падающей и
отражённой волн
Среда - струна, воздух - резонатор

33.

Волна распространяется в направлении оси z
z
x1 a sin t (1)
Примем условие: имеет место полное отражение, т.е.
колебательная энергия не передаётся в соседнюю среду.
При этом амплитуда отражённой волны = амплитуде падающей
z
x 2 a sin t (2)
Суперпозиция этих двух волн даёт:
z
z
x1 x 2 a sin t a sin t (3)
Sin α+ Sin β =
2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
после преобразований : Полученное уравнение x=x(t, z)
описывает новый волновой режим —
z
x 2a cos
sin t (4) стоячую волну

34.

Рассмотрим графики зависимости x=x(z)
x
sin t 1
M
N
z
sin
t 0.5
x
sin t 0
M
N
x
z
Видим, что две
соседние точки
колеблются в
одинаковых фазах, но с
различными
амплитудами
sin
t 0.5
z
M
N
sin t 1
Амплитуда частиц в стоячей волне зависит от координат частиц
A=A(z)
из (4)
z
z
A A(z) 2a cos
2a cos 2
(5)

35.

В отличие от бегущей волны, в которой амплитуды
колебаний всех точек одинаковы, а фазы различны
в стоячей волне фазы соседних точек одинаковы, а
различие их колебаний определяется различием в
амплитуде
Для сравнения – графики бегущей и стоячей волн для близких
t T
моментов времени
t
x
t t
z
t
x
t t
z
узел
узел

36.

Характерные особенности стоячих волн
1. Амплитуда колебаний частиц изменяется
по косинусоидальному закону (см(4)).
Имеются точки, в которых амплитуда равна
нулю. Такие точки называются узлами.
Имеются точки, в которых амплитуда
достигает наибольшего значения 2a . Эти
точки называются пучностями.
2. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины
волны. Расстояние между соседними пучностями также равно половине
длины волны.
x
4
2
z
Расстояние между
соседними узлом и
пучностью равно
четверти длины волны

37.

3. Колебания точек, заключённых между двумя узлами,
происходят в одинаковых фазах.
Фаза колебаний скачком меняется на обратную при переходе
через узел
4. Колебательная скорость:
z
x 2a cos
cos t (6)
Узел скоростей имеет место там же, где и узел смещений.
x
4
2
z

38.

5. Стоячая волна напряжений:
x
k
z
k
2a
sin
sin t (7)
z
5.1 Координаты узлов напряжения совпадают с
координатами пучностей смещения и скорости
5.2 Волна напряжений отразилась с изменением фазы
на противоположную (отражение см. выше)
4
2
z

39.

6.Стоячая волна не переносит энергии. Действительно,
мгновенное значение плотности потока энергии зависит от
.
произведения σx . Из предыдущего рис. Видно, что мгновенное
значение этого произведения изменяет знак каждые четверть волны.
Среднее значение потока энергии J равно нулю
J д x д cos ψ (8)
В стоячей волне ψ = 90о и J = 0
При выводе (4) амплитуды падающей и отражённой
волн были одинаковыми (при полном отражении)
При частичном переходе энергии максимальная
амплитуда
а не
, как в (5)
2a
a1 a 2
Такая волна переносит энергию, передаваемую в
соседнюю среду.

40. Акустика

41.

1. Звуковые колебания и их распространение
Звук – это продольные упругие колебания возд ухо мозг
ощущение звука.
Воспринимается от 16 Гц до 20000 Гц. связано с
физиологией человека.
f>20000 Гц – ультразвук; f<16 Гц – инфразвук.
В физике (независимо от f) звуковые колеб – упр колебан распр
в среде.
Объект.
-
характеристики:
интенсивность колебаний
плотность потока энергии
скорость распространения колебаний
В обиходе:
- сила звука
- скорость звука

42.

Звуковые впечатления:
- высота – зависит от частоты
- тембр – обертоны
- громкость
Ля:
,
2
3
1я
2я
440
880
3я
1760 Гц.
флейта , рояль...
Порог слышимости – min интенсивность волны, вызывающая
звуковое ощущение
Наиболее слышимы 1000-4000 Гц порог слыш-ти 10 12 Вт / м 2
При других f он лежит выше

43.

Порог болевого ощущения: интенс 1 10 Вт / м2
Субъективная характеристика – уровень громкости L – лог
отн инт данного звука I к некот I0 – исходной.
I 0 10 12 Вт / м 2 ; L lg I
I0
(Белы)
Единица уровня громкости – бел (Б); Б/10 - децибел
L 10 I
lg I 0
в децибелах (дБ)
Относ интенс I1 и I2
можно выразить в дБ
L(дБ)
I1
L12 10 lg
I2
130
120
I
20 дБ - уменьш в 100
30 дБ - уменьш в 1000
40 дБ - уменьш в 10000 и т.д
Шёпот – 30 дБ
Крик – 80 дБ
30
0
I0
10
102
103
104
105

44.

2. Скорость распространения упругих волн в газе.
Скорость распространения упр волн в
сплошной среде
По определению для
упругого стержня
(1) E
v
E
Модуль Юнга
Плотность
среды
Pn
усилие сила
на един
L / L
попер сечен.
Для объёма объёмн деформ V
P
и E
(2)
V
V / V
Полаг беск. малые dP и dV. Увел dP уменьш dV (отриц)
Перепишем (2) E
dP
dV V dP (3)
V
dV
Звук колеб происх так быстро, что теплов обмен между сгущ и
разреж произ не успевает – т.е.происх адиабатически
ур е
СP
PV const (4), где
адиабаты
CV
1 одноат 1,67
2 2 Х ат 1,40
3 1,33

45.

PV const (4)
dP
P
дифференц . (4) V dP V PdV 0
(5)
dV
V
dP
E V
(3)
dV
v
E
1
Подст в (3) E P и v зв
P
(6)
P
(7 )
Из ур-я Клапейрона-Менделеева
RT
молекул вес
R газовая пост
И окончательно:
v зв
RT
(8)
пример : воздух ~ O 2 N 2 ; 2 1,40;
R 8,13 10
7
Эр 2
град моль
(3 / 4 N 2 ; 1 / 4 O 2 )
1,4 8,31 107
T см / сек
возд 29; v возд
N 2 28; O 2 32
29
20 T м / c, при 17 с; v 341 м / c

46.

3. Колебания столба воздуха
l
1
l; 1 4l осн тон
4
v зв v зв
1
Частота n-го обертона:
1
4l
v зв
n n
4l
где n 1,3,5,7,9...

47. Эффект Доплера

48.

(австриец Христиан Доплер (1803-1853))
Эффект Доплера – изменение частоты
распространяющихся в среде колебаний, возникающее
при движении приёмника или источника колебаний
относительно этой среды.
V – скорость распространяющихся колебаний в среде
U – скорость источника относительно среды
v – скорость приёмника относительно среды
сближение
п
и
(+) (V,U)
удаление
п
и
(-) (V,U)

49.

I. Приёмник и источник покоятся относительно среды.
U=0;v=0
V
V
1
'
VT T
П

50.

II. Приёмник движется относительно среды со скоростью
v; источник неподвижен; U=0
V
v
v>0 приближается
П
(U=0)
И
v<0 удаляется
1) Если v>0 , то мимо приёмника за единицу времени пройдёт
большее число волн. Волны идут мимо прибора со скоростью:
V v V v
Vполн V v} '
VT
1
v
т.к.
, то ' 1 (1) '
T
V
2) Если v<0, то
v
V
П
И
Т.е. Частота
воспринятых
колебаний больше
числа испущенных в
v
' 1 , т.е. '
V
v
1
раз
V

51.

III. Источник движется, приёмник покоится (U=U;v=0)
И
U
П
(v=0)
1. U>0
Т.к. V зависит от
среды то за Т колеб
распростр на ,
независимо от движ
источника;
B'
B
uT
Но! за это время
источник пройдёт
путь uT
'
В результате воспринятая ' изменится, т.к. теперь ' будет:
' uT VT uT (V u )T;
V
V
V
соотв. '
; '
(2) '
' ( V u )T
V u
(при u>0)
2. при U<0
'
V
V u
'
И
П

52.

IV. Источник и приёмник перемещаются одновременно
(U=0; v=0)
Вследствие движ источника
Вследствие движ приёмника
' uT
V v
'
V
Вследствие обеих причин:
V v V v 1
V v
'
; '
(3)
uT V u T
V u
Если v и U направить под углом, то следует брать их
составляющие на прямую, соединяющую источник и
приёмник.
и
'
п
U и U cos
v п v cos '

53. Интерференция волн

Если от источника колебаний волны доходят до приёмника двумя различными путями, то
приёмник будет колебаться под одновременным воздействием обеих волн будет иметь
место сложение колебаний одинаковых частот.
При одинаковых направлениях слагаемых колебаний амплитуда и
энергия результирующего колебания:
A
x1 a1 sin 2 t
x 2 a 2 sin 2 t
z1
)
z
x 2 a 2 sin 2 ( t 2 )
x1 a1 sin 2 ( t
a a12 a 22 2a1a 2 cos( 1 2 )
E E1 E 2 2 E1E 2 cos( 1 2 )
(1)
При сложении одинаково направленных колебаний равных
частот энергия результирующего колебания не равна сумме
энергий слагаемых колебаний, совершающихся порознь
Интерференция волн – усиление или ослабление энергии результирующего
колебания в зависимости от разности фаз слагаемых колебаний
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний интерференции нет, т.к.
при любых 1 2 энергия E E1 E 2

54.

A
Приёмник под воздействием одной
первой волны совершал бы
колебания, следующие уравнению:
x1 a1 sin 2 t
x 2 a 2 sin 2 t
x1 a1 sin 2 ( t
z1
) (2)
a под воздействием второй волны – уравнению
x 2 a 2 sin 2 ( t
z2
) (3)
Разность фаз колебаний приёмника под воздействием одного и другого колебаний:
1 2 2
z 2 z1
Разность расстояний z 2 z1, которые проходят волны от источников до приёмника,
называется разностью хода волн z 2 z1
Интерференционное усиление, согласно (1), имеет место при условии
z 2 z1
1
z z
или 1 2 2 2 1 2 2 , где целое число
cos( 1 2 ) cos 2
отсюда
z 2 z1 2
(4)
2

55.

Аналогично, для интерференционного ослабления необходимо:
z 2 z1
1
z z
1 2 2 2 1 2 (2 1)
cos( 1 2 ) cos 2
z 2 z1 (2 1)
(5)
2
Таким образом:
Интерференционное усиление имеет место, если разность хода
лучей равна целому числу длин волн или чётному числу длин
полуволн
Интерференционное ослабление имеет место, если разность
хода лучей равна нечётному числу длин полуволн

56. Отражение волн Проникновение волн через границу

Условие: волна распространяется вдоль оси z,
перпендикулярной границе раздела двух сред.
1 1 1
2 2 2
Z
2
1
Волновое сопротивление первой среды (в ней распространяются подающая
и отражённая волны)
Волновое сопротивление второй среды (в ней распространяется проникшая
через границу раздела волна)
Отношение волновых сопротивлений сред
a0, ar , at
Амплитуды колебаний частиц падающей, отражённой и преломлённой волн
соответственно
u0 , ur , ut
Амплитуды колебательной скорости частиц
0 , r , t
Амплитуды напряжений среды, вызванных падающей, отражённой и
прошедшей через границу волн соответственно
R
Фr
(1)
Ф0
Коэффициент отражения
T
Фt
(2)
Ф0
Коэффициент проникновения

57.

Так как площадь, на которую падает волна, равна площади, от которой она отражается,
отношение потоков энергии можно заменить отношением плотностей потока энергии
(векторов Умова)
J1 1a12 12 1 a12 1 1 x max 1 1
2
(5)
2 2
J 2 2a 2 2 2 a 2 2 2 x max 2 2
J
J
R r (3) и T t (4)
J0
J0
Так как падающая и отражённая волны распространяются в одной и той же среде, то:
2
1 2 ;
2
2
a u
R r r r (6)
a 0 u 0 0
Падающая и проникшая через границу волны распространяются в разных средах,
поэтому:
2 2 u 2t
u 2t
T
Z 2 (7)
2
1 1u 0
u0

58.

Падающая волна
Волна
смещений
Волна
колебатель
ных
скоростей
Волна
напряжений
Отражённая волна
Волна, проникшая во
вторую среду
z
x a 0 sin t
1
z
x a 2 sin t r
1
z
x a t sin t t
2
z
x u 0 cos t
1
x u cos t z
z
t
t
x u r cos t r
2
1
z
0 cos t
1
z
z
r cos t r t cos t t
1
2
Следует обратить внимание на появление дополнительных (по сравнению с падающей
волной) фазовых углов r и t , учитывающих возможное изменение фазы волны при
отражении и проникновении во вторую среду.
На границе раздела двух сред выполняется
условие непрерывности: в природе не бывает бесконечно больших перепадов
смещений, колебательных скоростей частиц и напряжений
x 0 x r x t ; x 0 x r x t ; 0 r t (8)

59.

Примем на границе z=0, тогда:
u 0 cos t u r cos( t r ) u t cos( t t ) (9)
0 cos t r cos( t r ) t cos( t t ) (10)
Потому, что волна напряжений должна отразиться от
границы в фазе, противоположной волне скоростей
Если в (10) подставить знак +, то оно окажется несовместимым с (9)
Из (10) после подстановки
u
следует:
1[u 0 cos t u r cos( t r )] 1[u t cos( t t )] (11)
По (9) скобки в л.ч. и п.ч. уравнения (11) равны, поэтому
что не соответствует условию
1 2
,
Из (9) и (10), справедливых в любой момент времени, можно получить:
u 0 u r cos r u t cos t (12)
u r sin r u t sin t (13)
1u 0 1u r cos r 2 u t cos t (14)
1u r sin r 2 u t sin t (15)

60.

Используя введённые обозначения, уравнения (12) – (15) можно представить в виде:
ut
1 R cos r u cos t (16)
0
ut
R sin r u sin t (17)
0
1 R cos Z u t cos (18)
r
t
u0
R sin Z u t sin (19)
r
t
u0
Система уравнений даёт возможность определить
R , Z, r , t

61.

1. определение
t
Вычитая (19) из (17) получаем:
ut
sin t 0
u0
u
т.к. ( Z 1) 0; t 0 то sin t 0 и cos t 1
u0
( Z 1)
Для определения знака
( Z 1)
ut
cos t 2
u0
ut
1
R
cos
cos t (16)
r
u0
ut
R
sin
sin t (17)
r
u
0
1 R cos Z u t cos (18)
r
t
u0
R sin Z u t sin (19)
r
t
u0
cos t сложим (16) и (18)
т.к. ( Z 1) 0;
ut
0 то
u0
cos t 1 и t 0 (20)
Волна проникает во вторую среду без изменения
фазы, т.е. в отношении фазы преломления волна
является продолжением предыдущей.

62.

1. определение
r
из (17) при t 0 следует :
sin r 0 и r 0 или r
Вычитая (18) из (16) получаем:
ut
2 R cos r (1 Z) cos t
u0
u
т.к. cos r 0, t 0, R 0
u0
ut
1
R
cos
cos t (16)
r
u0
ut
R
sin
sin t (17)
r
u
0
1 R cos Z u t cos (18)
r
t
u0
R sin Z u t sin (19)
r
t
u0
знак cos r зависит от знака (1 - Z)
если 2 1 то Z 1, (1 Z) 0, cos r 0 и r (21)
если 2 1 то Z 1, (1 Z) 0, cos r 0 и r 0 (22)
1. При отражении от среды с меньшим акустическим сопротивлением ( 2 1 ) волна
смещений и волна колебательных скоростей частиц не изменяет фазу; волна напряжений
изменяет фазу на
2. При отражении от среды с большим акустическим сопротивлением ( 2 1 )волна
смещений и волна колебательных скоростей частиц изменяют фазу на
; волна
напряжений не изменяет фазу

63.

1. Определение R
Выразив
ut
из (16) и подставив его в (18), получим:
u0
Z 1
R
Z 1
2
(23)
ut
1
R
cos
cos t (16)
r
u0
ut
R
sin
sin t (17)
r
u
0
1 R cos Z u t cos (18)
r
t
u0
R sin Z u t sin (19)
r
t
u0
Коэффициенты отражения от границы данных двух сред
одинаковы как для волны, падающей на границу из первой
среды, так и для волны , падающей на границу из второй среды
1. Определение T
Выразив
R cos r из (16) и подставив его в (18), получим: T
4Z
( Z 1) 2
(24)
По закону сохранения энергии поток энергии падающей волны равен сумме потоков
энергии отражённой и проникшей во вторую среду волн. Поэтому должно иметь место
равенство:
R T 1 (25)

64. Принцип Гюйгенса

Каждая точка поверхности волны должна
рассматриваться как самостоятельный
источник элементарных сферических волн
Поверхность
волны в
момент
времени t
Способ нахождения положения и формы
поверхности волны через промежуток времени t
после начального момента t :
Из каждой точки поверхности волны, заданной в
момент времени t , надо в сторону направления
распространения провести полусферы радиусом t;
Общая огибающая всех этих полусфер – искомая
поверхность волны.
Поверхность
волны в
момент
времени
t t

65. Примеры применения принципа Гюйгенса

1. Отражение плоской волны на границе двух сред
1
3
2
N
B
i
K
A
1
i
Д
N
K1
K
A
Д
K1

66.

1. Преломление плоской волны через плоскую границу раздела двух сред
1
1 2
N
AE 1 2
B
A
i
i
I
r
1
2
II
r
Из рассмотрения треугольников ABD и AED:
BD AD sin i и AE AD sin r
D
BD
BD 1
или
(1)
1
AE 2
тогда
sin i 1
sin r 2
(2)
Закон преломления:
Отношение sin угла падения к sin угла
преломления для данных двух сред –
величина постоянная, равная отношению
скорости распространения волн в первой
среде к скорости распространения волн
во второй среде.
- относительный показатель преломления второй среды относительно первой
1
n 21 (3)
2

67.

1
1 2
(4)
2
2 1
В случае упругих волн:
n 21
В случае электромагнитных волн:
2 2
n 21
(5)
1 1
Показатель преломления среды относительно
вакуума, где
1 принимает вид:
n 21 (6)
Для всех не ферромагнитных сред магнитная проницаемость практически равна единице,
поэтому:
n 21 (7)
При переходе волны из одной среды в другую, частота колебаний не изменяется.
Так как скорости распространения в различных средах различны, то длина волны при
переходе из одной среды в другую изменяется.
1 n 21 2 (8)
2
2
1 1 (9)
n 21 n 21

68. Электромагнитные волны

69. Максвелл, Джеймс Клерк

Д.К.Максвелл (1831-1879) - великий английский учёный,
создатель теории электромагнетизма.
В 1860—1865 Максвелл создал
теорию электромагнитного поля,
которую сформулировал в виде
системы уравнений (уравнения
Максвелла). Уравнения Максвелла
составляют основу как электротехники
и радиотехники, так и теории любых
электромагнитных явлений в любых
средах.
В 1861г. он обнаружил, что свет —
это разновидность электромагнитных
волн.
Максвелл также создал Создал кинетическую теорию газов (1859г.)
и вывел соотношение для распределения цастиц газов по скоростям,
получившего название распределения Максвелла.

70.

Обобщение законов электромагнетизма.
Уравнения МАКСВЕЛЛА (1867 г.)
1. Экспериментальные законы.
I. Закон Кулона
1 q1q 2
F
4 0 r 2
1
S E dS 0 V dV
Теорема Гаусса
II. Закон
сохранения
заряда
Суммарный заряд
электрически
нейтральной системы
остаётся постоянным
III. Закон Ампера
dF I[d l , B]
i
IV. Био-СаварраЛапласа
?
div j
t
FB q[ V, B]
dФ
dt
I [d l , r ]
dH
4 r 3
Сила Лоренца
(магн)
Закон
Фарадея
H dl j dS
l
l
n
S
Теорема о
циркуляции
магн. поля

71.

Уравнения Максвелла (собираем)
I
d з н
1) (Ed l ) (BdS){Фарад .}
dt S
b
.зар.
2) (BdS) 0{магн
отсутствуют }
B
1)rotE
t
2)div B 0
S
II
D
3)rotH jпр
t
4)div D
теор.о
d циркул
3) (Hd l ) ( jпр dS) (DdS){ jсм .}
dt S
L
S
теор.
4) (DdS) dv{Гаусса
}
S
V
Интегральная форма
Дифференциальная форма
Материальные уравнения
D 0 E
B 0 H
j E
(5)

72.

Приложение к ур-ниям Максвелла в
дифференциальной форме
Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса
Т. Стокса
(L)
Т. Остроградского Гаусса
где
A l dl (rotA) n dS
S
A n dS div A dV
(S)
(a )
(b)
V
A x A y A z
div A
x
y
dz
(c)
A z A y
(rotA) x
y
z
A x A z
(rotA) y
z
x
A y A x
(rotA) z
x
y
(d )

73. Шкала ЭМВ

Электромагнитные волны
Шкала ЭМВ
Частота
Гц
1022
1021
101920
1018
1017
1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
109
108
107
106
10 5
10 4
103
10
Название диапазона
Гамма-лучи
Рентген
Ультрафиолетовое излучение
Видимый свет
Инфракрасное излучение
Микроволны
Телевидение и ЧМ
Радиовещание
Радиоволны
Длина
волны, см
22
10 10
10 9
10 8
10 7 1 A
10 6
10 5
10 4
10 3
10 2
10 1
10
1 1 см
102
10 3 1 м
10 4
105
10 6 1 км
107
108
10

74.

Электромагнитные волны
Видимый свет
( 0.4 0.76 мкм )
Наименование
(м ) 10
14
Гц
Ближнее инфракрасное
1 10 6
3
Красный max
7.6 10 7
3.9
Оранжевый
6.1 10 7
4.9
Жёлтый
5.9 10 7
5.1
Зелёный
5.4 10 7
5.6
Голубой
4.6 10 7
5.5
Синий min
4 10 7
7.5
Ближний УФ
3 10 7
10

75. I. Е колеблется H; ЭМВ – поперечная волна

Электромагнитные волны
I. Е колеблется
H; ЭМВ – поперечная волна
Модель: E(z,t) т.е. Не зависит от
у и х;
E E H H
, ,
,
0
x y x y
однородный диэлектрик 0 и 0 ; 0; j 0
Ур-я Максвелла
B
H y
A z A y E y B x
D x
rot
E
[rotA]x
t
y
z
z
t
z
t
div B 0
B y
A x A z E x
H x D y
1)
[rotA ]y
2)
3)
D
z
x z
t
z
t
rotH
D z
t [rotA ] A y A x Bz 0
0
t
z
t
x
y
div D 0
0
0
т.к. [rotA ]z 0

76.

Электромагнитные волны
ть Е и Н
H x зависит только от D y (E y ); D x 0 E x
4)
H y зависит только от E x ; D y 0 E y
H
E
0
Н y H, E y 0
t
z
т.е. Е всегда Н в плоской волне
H
E
Н
0
,
E
E
x
x
напр по z
0
t
z
x
Е напр по x
плоско поляризованая волна
E
y
H
z

77.

Электромагнитные волны
Поперечность ЭМВ
Согл (1)
B
0 B const
div B 0
z
z
т.е. не мен. вдоль z по оси
div D 0 D 0 D z const
z
Bz
0
[rotB]z 0 t
[rotD]z 0 D z 0
t
Т.е. вдоль z не
меняется и по t

78. Волновое уравнение ЭМВ (Даламбера)

Электромагнитные волны
Волновое уравнение ЭМВ
(Даламбера)
Уравнения Максвелла для плоско – поляризованной волны
сводятся:
H
E
0 t z
E H
0 t
z
аналогично,
производя
в (а ), (б)
операцию
" наоборот"
t
z
z
t
2H
2E
0
2
t z
z
2
2
E
H
0 2
t
z
t
2E
2E
0 0 2 (5)
2
z
t
2H
2H
0 0 2 (6)
2
z
t
Уравнение
Даламбера
ЭМВ

79.

Электромагнитные волны
Скорость ЭМВ
Ранее для упругих колебаний было показано:
1 2U
2U 1 2U
U 2 2 ; или в одномерном случае :
2 2 (7 )
2
v t
z
v t
любой
z
здесь U f t периодический
v
сигнал
Для бегущей волны v – фазовая скорость.
Сравнивая (7) и (5), (6) видим:
1
v
(8)
0 0
2

80.

Электромагнитные волны
Для ЭМВ обозначим vсреды=Сср; vвак=C – скорость
света (ЭМВ) в вакууме
1
C
(10)
0 0
1
1
(9) Cср
0 0 0
В Си
1
Ф
0
С
9
4 9 10 м
1
4 10 7
4 109 9
3 108 м ; C 2.997 108 м
с
с

81.

Электромагнитные волны
В случае плоскополяризованой
монохроматической волны
ур-ям (5), (6) соотв
решение:
z
E Em sin t 1
v
(11)
z
H H m sin t 2
v
Задача: установить связь между E и H по фазе и величине
Сгласно (4)
с
и
н
ф
а
з
н
о
с
т
ь
E
H Em cos t z H cos t z
1
0
m
2
0
v
v
v
z
t
(12)
E
H
z
z
0
E
cos
t
H
cos
t
0
m
1
m
2
v
v
t
z
v
Тождеств. вып. (12) (т.е. при любых коорд и в любой момент)
Возможно только при 1 2 (13) синфазность
В бегущей ЭМВ Е и Н колеблются в одинаковых фазах

82.

Электромагнитные волны
Соотношение Е и Н
С учётом (13) из (12):
Em
1
0 H m v
v
0 0
0 Em 0 H m
0 E 0 H
(14)
Для амплитудных значений
Для мгповенных значений

83.

Электромагнитные волны
Итак В распространяющейся ЭМВ вектора Е и Н жёстко
связаны пропорциональной зависимостью:
0 E 0 H (14)
И колеблются в одинаковой фазе:
x
E
1 2 (13)
z
y
H