Разложение суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот

1.

Математика
Занятие 46.
Разложение суммы
тригонометрических функций в
произведение и наоборот

2.

Разложение суммы в произведение
x y x y 2x
x y ( x y) 2 y
x y
x y
x
y
2
2
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y
+ cos( x y ) cos x cos y sin x sin y
cos( x y ) cos( x y ) 2 cos x cos y
cos cos 2 cos
Аналогично
cos cos 2 sin
sin sin 2 sin
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
2
sin sin 2 sin
2
cos
2

3.

Разложение суммы в произведение
sin sin 2 sin
cos
cos cos 2 cos
cos
2
2
2
2
cos
cos
2
sin
sin
sin sin 2 sin
cos
2
2
2
2
sin 5 x sin 3 x 2 sin
cos10 cos 40 2 cos
5 x 3x
5 x 3x
cos
2 sin x cos 4 x
2
2
10 40
10 40
cos
2 cos 25 cos( 15 ) 2 cos 25 cos15
2
2
sin( x 18 ) sin( x 24 ) 2 sin
x 18 x 24
x 18 x 24
cos
2
2
42
2 x 6
cos
2 sin 21 cos( x 3 )
2
2
7 5
7 5
7
5
12
12
12
12
cos
cos
2 sin
sin
2 sin sin
12
12
2
2
2
12
2 sin
2 1 sin
12
2 sin
12

4.

Разложение суммы в произведение
sin sin 2 sin
cos
cos cos 2 cos
cos
2
2
2
2
cos
cos
2
sin
sin
sin sin 2 sin
cos
2
2
2
2
Упростить:
1) sin 87 sin 59 sin 93 sin 61 (sin 87 sin 93 ) (sin 61 sin 59 )
2 sin
87 93
87 93
61 59
61 59
cos
2 sin
cos
2
2
2
2
2 sin( 3 ) cos 90 2 sin 1 cos 60 2 sin( 3 ) 0 2 sin 1
7 x 3x
7 x 3x
cos
2) sin 7 x sin 3 x
2
2
7 x 3x
7 x 3x
cos 7 x cos 3 x
2 sin
sin
2
2
2 sin
cos 5 x
ctg5 x
sin 5 x
1
sin 1
2
2 sin 2 x cos 5 x
2 sin 5 x sin 2 x

5.

Разложение суммы в произведение
sin sin 2 sin
cos
cos cos 2 cos
cos
2
2
2
2
cos
cos
2
sin
sin
sin sin 2 sin
cos
2
2
2
2
Разложить на множители:
cos 8 х cos 6 x cos 4 x cos 2 x (cos 8 х cos 2 x) (cos 6 x cos 4 x)
2 cos
8x 2 x
8x 2 x
6x 4x
6x 4x
cos
2 cos
cos
2
2
2
2
2 cos 5 x cos 3 x 2 cos 5 x cos x 2 cos 5 x(cos 3 x cos x)
2 cos 5 x 2 cos
3x x
3x x
cos
2
2
4 cos 5 x cos 2 x cos x

6.

Разложение произведения в сумму
cos( ) cos cos sin sin
+
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos( ) 2 cos cos
1
cos( ) cos( ) cos cos
2
1
cos cos cos( ) cos( )
2
Аналогично
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2

7.

Разложение произведения в сумму
cos cos
1
cos( ) cos( )
2
sin cos
sin sin
1
cos( ) cos( )
2
1
sin( ) sin( )
2
1
1
cos 3 x cos x cos(3 x x) cos(3 x x) (cos 4 x cos 2 x)
2
2
1
sin 50 sin 10 cos(50 10 ) cos(50 10 )
2
1
1
1 1
1
(cos 40 cos 60 ) cos 40 cos 40
2
2
2 2
4
3 1 3
3
sin cos
sin
sin
5
8
2 5 8
5 8
1 23
7 1 23
7
sin
sin
sin
sin
2
40
40 2
40
40

8.

Шмельков Владимир Юрьевич
преподаватель математики
ГБПОУ ЗКНО
Москва, 2020г.