Лекции по теории функции комплексной переменной

1. Лекции по теории функции комплексной переменной

Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
Физический факультет
Кафедра математики
Виктор Юрьевич Попов
Лекции по теории функции
комплексной переменной

2.

Лекция № 1
§1. Комплексные числа и
последовательности комплексных
чисел.
п. 1. Понятие комплексного числа.
Геометрическая интерпретация.

3.

Немного истории
Комплексные числа вошли в
математику в XVI в. как корни
квадратного уравнения с
отрицательным дискриминантом.

4.

ax bx c 0
2
D b 4ac
2
D 0
D 0
b D
x1,2
2a
x1,2 ?
Как понимать?
Что делать?

5.

Вначале такие корни отбрасывались,
как «невозможные», «мнимые», и
появление их считалось признаком
отсутствия решения у задачи,
приведшей к квадратному
уравнению.

6.

Обоснование: мнимые корни не
выражают величины, так как их
нельзя сравнивать друг с другом,
нельзя сказать, какоe мнимое больше,
какое меньше.

7.

Однако позже было обнаружено, что
над ними можно производить четыре
алгебраических действия, причем
сохраняются свойства, присущие
действиям над действительными
числами.

8.

Это и послужило основанием
называть мнимые корни числами
(«Алгебра» итальянского инженера Р.
Бомбелли, 1572 г.).

9.

Геометрическое изображение
комплексных чисел в виде точек или
векторов "на плоскости" было
введено в 1799 г. датским землемером
К. Весселем (1745—1818)
и несколько позже, в 1806 г.,
французским математиком
Д. Арганом (1768—1822).

10.

Символ i для мнимой единицы ввел в
1777 г. Л. Эйлер (1707— 1783).
Термин «комплексное число» ввел в
1881 г. К. Вейерштрасс (1815— 1897).

11.

Большое значение в раскрытии
важной роли комплексных чисел в
математике имели работы Л. Эйлера и
К. Гаусса (1777—1855), а также
теорема Даламбера (1717—1783) о том,
что любое алгебраическое уравнение
n-й степени с комплексными
коэффициентами имеет n
комплексных корней.

12.

До появления этой теоремы можно
было бы ожидать, что, подобно тому
как квадратное уравнение привело к
комплексным числам, попытки
решения уравнений степеней п = 3, 4,
..., приведут к появлению все новых и
новых типов чисел.

13.

Геометрическое изображение
комплексного числа как точки или
вектора на плоскости, естественно,
приводит к мысли построить
дальнейшие обобщения понятия о
числе.

14.

Однако поиски числовой системы,
зависящей от трех единиц: 1, i, j,
геометрически изображаемой с
помощью точек или векторов 3мерного пространства, не увенчались
успехом: не удавалось так придумать
правила действий над новыми
«числами», чтобы сохранились
обычные их свойства.

15.

В 1843 т. английский математик
У. Гамильтон (1805—1865) показал,
что можно построить числовые
системы, зависящие от четырех
единиц: 1, i, j, k, если поступиться
одним свойством —
переместительным законом
умножения.

16.

Вообще, гиперкомплексными числами
ранга п называются «числа» вида
a1 e1 a2 e2 an en
e1 , e2 , en — единицы,
a1 , a2 ,
an
—действительные
числа,
когда указаны правила
алгебраических действий с такими
«числами».

17.

Однако К. Вейерштрасс показал, что
при п > 2 нельзя сохранить все
свойства, присущие алгебраическим
действиям над действительными и
комплексными числами.

18.

Немецкий математик Ф. Фробениус
(1849—1917) доказал, что, даже
отказавшись от переместительного закона
умножения, можно сохранить остальные
свойства алгебраических действий
дополнительно лишь для п = 4,
а при
n 1, 2, 4
,
как бы не вводилось правило умножения,
всегда будут пары отличных от нуля
гиперкомплексных чисел, произведение
которых равно нулю.

19.

Рассмотрим плоскость
R2.
z x , y R
2
2
x R, y R. Определим z
i
y
z x, y
z
0
i z
1
2 -вектор
x y , 1
операцию сложения:
z1 x1 , y1 , z2 x2 , y2 z( x , y ) :
x x1 x2
z z1 z2
; 2
y
y
y
1
2
1
x
операцию умножения на число:
z1 z2
z x , y , R : z x , y
z2 1 1, 0 i 0, 1
0
z
x
,
y
x
1
y
i
1
базис
3

20.

Как ввести z z1 z2 , сохранив (1) и (2) ?
Вектор 1– единица операции умножения.
Определим i i i 2 . Т.к. 1 i i , то полагают
2
i 1. 4
1,0
i
i
2
1,0
2
0
2
iz
z
1
1,0
0
z ( x , y ) : z i ( x 1 y i ) i y 1 x i y, x
5

21.

z1 x1 , y1 , z2 x2 , y2 R
z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x1 , y1 )
Правило умножения
2
( x1 1 y1 i ) ( x2 1 y2 i )
x1 x2 y1 y2 1 x1 y2 x2 y1 i
x1 x2 y1 y2 ; x1 y2 x2 y1 6
2
Def. Числовая плоскость R называется
комплексной плоскостью C, если для ее точек
определены модули (1), операции сложения (2)
и умножения (6).
Точки комплексной плоскости С называются
комплексными числами.

22.

Действительные числа включаются в
множество комплексных чисел.
a=(a,0)-вещественное число, 0=(0, 0), 1=(1, 0),
-1=(-1, 0), ib= (0, b)-чисто мнимое число,
i =(0, 1)- мнимая единица, -i=(0, -1).
Равенство. z1 x1 , y1 , z2 x2 , y2 :
x
x
1
2
z1 z2
.
y1 y2
Алгебраическая форма записи.
z x i y Re z i Im z .
упорядоченная
пара
z ( x , y )
вещественных чисел.

23.

Комплексное сопряжение.
*
*
*
z z x i y ( x , y ). Re z x , Im z y .
*
*
z z Im z z z , * *
Re z
z1 z2
2
*
*
,
* *
z1 z2 ,
z z,
2i
z1 z2
*
2
* *
z1 z2 ,
2
2
z z ( x iy )( x iy ) x y z
Деление.
*
* x x y y
z1 z1 z2 z1 z2
1 2
1 2 i y1 x2 y2 x1
2
2
2
2
z2 z2 z*2 z 2
x 2 y2
x 2 y2
2

24.

Примеры.
2
2
z x iy x y i 2 xy ;
1, n 4k
i
n 4k 1
n
*
i
, k 0,1,2...; i i;
1 n 4k 2
i n 4k 3
2
2
3 4i 3 4i 2 3i 6 12
8 9
i
2 3i 2 3i 2 3i 22 32 22 32
6 17
1
i
i ;
i
13 13

25.

Z
-2+2i
Re z=0
Комплексные числа можно изображать точками
на комплексной плоскости.
Y (Im z)
2
2+2i
1
i
X (Re z)
0
-2
-1
0
-1
-2-2i
-2
1
-i
2
Im z=0
2-2i

26.

Z
iy
Arg z arg z 2 k
0
Im z
r
j
j
r
z=x+iy
z
Re z
x
-iy
z*=x-iy

27.

Модуль и аргумент комплексного числа
(x,y) (r,j).
Полярные координаты
x r cos j
y r sin j
Модуль комплексного числа:
2
2
r x y z
Re z Im z
2
2
Аргумент комплексного числа:
y Im z
tg j
; j j 0 2 k ; 0 j 0 0 2
x Re z
Arg z arg z 2 k ;
0 arg z 0 2 Главное значение аргумента.

28.

arg z
-разрез по Re z 0 - PC Soft
0 arg z 2
-разрез по Re z 0 -литература
Примеры. 0 0, arg 0 — не определен!
i 1, arg i ;
2
1 1, arg 1 ; i 1, arg i ;
2
z 2 2i , z 2 2 , arg z ;
4
1 1, arg1 0;

29.

Тригонометрическая форма записи
z x i y , x r cos j , y r sin j .
z r cosj i sinj , r z , j Arg z .
формула Эйлера: j e
ij
cosj i sinj , j R.
Показательная форма записи
ij
z re
, r z , j Arg z .
Теорема. Пусть j , R, k Z , тогда
i0
ij i
i j
1) e
3) e
i j 2 k
1; 2) e e
ij
e ; 4) e
ij
e
1
ij
;
; 5) e
ij
1.

30.

Примеры.
i0
1 1 cos 0 i sin 0 e ;
i
i 1 cos i sin e 2 ;
2
2
i
1 1 cos i sin e ;
i
3 i 2e 6 ;
3
i
2 2i 2 2e 4 ;
2
i
i 3 1 2e 3 ;
i
i 1 cos i sin e 2 ;
2
2
3
i
i
i
i
i 4
i 4
4
e e e e e e 4 .

31.

Вопрос.
j
j
i 2
ij
2 12 1 j ?
e e
Умножение и деление в показательной форме.
ij1
ij 2
z1 r1e , z2 r2e ,
z1 r1 i j1 j 2
i j1 j 2
e
.
z1z2 r1r2e
,
z2 r2
ij
Формула Муавра. z re r cosj i sinj .
n
n
n inj
n
z r e
r cosj i sinj
n
r cos nj i sin nj .
cosj i sinj cos nj i sin nj
n

32.

Извлечение корня. z re
ij
r cosj i sinj
r cos j 2 k i sin j 2 k re
i j 2 k
;
j 2 k
i
n z n re n ,
n z n r cos j 2 k i sin j 2 k ,
n
n
k 0, 1 , n 1.
Корень n-той степени из комплексного числа
принимает n различных значений.

33.

Примеры.
1 i
3
3 i
2 e 4
3
9
i
3
i
3
3
4
2 e
2 e 4
3 2
2 cos i sin
4
4
3
2
2
i 2 2i .
2
2

34.

3 2 2i
1
i 2
1 / 3 3 4
8 e
k
i
e 12 , k 0;
7
i
2
e 12 , k 1;
3
i 5
i
e 4 e 4 1 i , k 2;

35.

i0
e 1, k 0;
i
2 k
i
2
e
i , k 1;
4 1 e 4
i
e 1, k 2;
i 3
i
e 2 e 2 i , k 3.

36.

i
e 4 2 1 i , k 0;
2
i 3
2 k e 4 2 1 i , k 1;
i
4 1 e
2
4
3
i
2
4
1 i , k 2;
e
2
i
2
4
e
1 i , k 3.
2

37.

Множество комплексных чисел C образует поле.
Поле С не является упорядоченным.
В упорядоченном поле P
a ,b P
a 0 В поле С 12 i 2 0, но
a b 0
.
b 0
1 0, i 0.
2
2
Операция сравнения в С не определена.
Утверждение 1 i i 1 0 неверно.
Модуль
2
z x y
аксиомам норм.
2
удовлетворяет

38.

Неравенства треугольника.
z1 z2 z1 z2 z1 z2
Упорядоченная четверка E C , , ,
является нормированным векторным
пространством над полем R. Оно превратится в
метрическое пространство, если z1 , z2 C
ввести метрику по формуле z1 , z2 z1 z2 .
Из теоремы Фробениуса следует, что поле С
является «максимальным» числовым полем
и дальнейшее расширение понятия числа
невозможно.

39.

Некоторые простейшие множества точек
на комплексной плоскости.
z z0 a
z z0 a
z z0 a
a
z0

40.

arg z z0
arg z z0
arg z z0
z0

41.

Im z b
Im z b
Im z b
Re z a
ib
Re z a
Re z a
a