Комплексные числа и последовательности комплексных чисел. Лекция № 1

1. Лекции по теории функции комплексной переменной

Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
Физический факультет
Кафедра математики
Виктор Юрьевич Попов
Лекции по теории функции
комплексной переменной

2.

Лекция № 1
§1. Комплексные числа и
последовательности комплексных
чисел.
п. 1. Понятие комплексного числа.
Геометрическая интерпретация.

3.

Немного истории
Комплексные числа вошли в
математику в XVI в. как корни
квадратного уравнения с
отрицательным дискриминантом.

4.

ax bx c 0
2
D b 4ac
2
D 0
D 0
b D
x1,2
2a
x1,2 ?
Как понимать?
Что делать?

5.

Вначале такие корни отбрасывались,
как «невозможные», «мнимые», и
появление их считалось признаком
отсутствия решения у задачи,
приведшей к квадратному
уравнению.

6.

Обоснование: мнимые корни не
выражают величины, так как их
нельзя сравнивать друг с другом,
нельзя сказать, какоe мнимое больше,
какое меньше.

7.

Однако позже было обнаружено, что
над ними можно производить четыре
алгебраических действия, причем
сохраняются свойства, присущие
действиям над действительными
числами.

8.

Это и послужило основанием
называть мнимые корни числами
(«Алгебра» итальянского инженера Р.
Бомбелли, 1572 г.).

9.

Геометрическое изображение
комплексных чисел в виде точек или
векторов "на плоскости" было
введено в 1799 г. датским землемером
К. Весселем (1745—1818)
и несколько позже, в 1806 г.,
французским математиком
Д. Арганом (1768—1822).

10.

Символ i для мнимой единицы ввел в
1777 г. Л. Эйлер (1707— 1783).
Термин «комплексное число» ввел в
1881 г. К. Вейерштрасс (1815— 1897).

11.

Большое значение в раскрытии
важной роли комплексных чисел в
математике имели работы Л. Эйлера и
К. Гаусса (1777—1855), а также
теорема Даламбера (1717—1783) о том,
что любое алгебраическое уравнение
n-й степени с комплексными
коэффициентами имеет n
комплексных корней.

12.

До появления этой теоремы можно
было бы ожидать, что, подобно тому
как квадратное уравнение привело к
комплексным числам, попытки
решения уравнений степеней п = 3, 4,
..., приведут к появлению все новых и
новых типов чисел.

13.

Геометрическое изображение
комплексного числа как точки или
вектора на плоскости, естественно,
приводит к мысли построить
дальнейшие обобщения понятия о
числе.

14.

Однако поиски числовой системы,
зависящей от трех единиц: 1, i, j,
геометрически изображаемой с
помощью точек или векторов 3мерного пространства, не увенчались
успехом: не удавалось так придумать
правила действий над новыми
«числами», чтобы сохранились
обычные их свойства.

15.

В 1843 т. английский математик
У. Гамильтон (1805—1865) показал,
что можно построить числовые
системы, зависящие от четырех
единиц: 1, i, j, k, если поступиться
одним свойством —
переместительным законом
умножения.

16.

Вообще, гиперкомплексными числами
ранга п называются «числа» вида
a1 e1 a2 e2 an en
e1 , e2 , en — единицы,
a1 , a2 ,
an
—действительные
числа,
когда указаны правила
алгебраических действий с такими
«числами».

17.

Однако К. Вейерштрасс показал, что
при п > 2 нельзя сохранить все
свойства, присущие алгебраическим
действиям над действительными и
комплексными числами.

18.

Немецкий математик Ф. Фробениус
(1849—1917) доказал, что, даже
отказавшись от переместительного закона
умножения, можно сохранить остальные
свойства алгебраических действий
дополнительно лишь для п = 4,
а при
n 1, 2, 4
,
как бы не вводилось правило умножения,
всегда будут пары отличных от нуля
гиперкомплексных чисел, произведение
которых равно нулю.

19.

Рассмотрим плоскость
R2.
z x , y R
2
2
x R, y R. Определим z
i
y
z x, y
z
0
i z
1
2 -вектор
x y , 1
операцию сложения:
z1 x1 , y1 , z2 x2 , y2 z( x , y ) :
x x1 x2
z z1 z2
; 2
y
y
y
1
2
1
x
операцию умножения на число:
z1 z2
z x , y , R : z x , y
z2 1 1, 0 i 0, 1
0
z
x
,
y
x
1
y
i
1
базис
3

20.

Как ввести z z1 z2 , сохранив (1) и (2) ?
Вектор 1– единица операции умножения.
Определим i i i 2 . Т.к. 1 i i , то полагают
2
i 1. 4
1,0
i
i
2
1,0
2
0
2
iz
z
1
1,0
0
z ( x , y ) : z i ( x 1 y i ) i y 1 x i y, x
5

21.

z1 x1 , y1 , z2 x2 , y2 R
z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x1 , y1 )
Правило умножения
2
( x1 1 y1 i ) ( x2 1 y2 i )
x1 x2 y1 y2 1 x1 y2 x2 y1 i
x1 x2 y1 y2 ; x1 y2 x2 y1 6
2
Def. Числовая плоскость R называется
комплексной плоскостью C, если для ее точек
определены модули (1), операции сложения (2)
и умножения (6).
Точки комплексной плоскости С называются
комплексными числами.

22.

Действительные числа включаются в
множество комплексных чисел.
a=(a,0)-вещественное число, 0=(0, 0), 1=(1, 0),
-1=(-1, 0), ib= (0, b)-чисто мнимое число,
i =(0, 1)- мнимая единица, -i=(0, -1).
Равенство. z1 x1 , y1 , z2 x2 , y2 :
x
x
1
2
z1 z2
.
y1 y2
Алгебраическая форма записи.
z x i y Re z i Im z .
упорядоченная
пара
z ( x , y )
вещественных чисел.

23.

Комплексное сопряжение.
*
*
*
z z x i y ( x , y ). Re z x , Im z y .
*
*
z z Im z z z , * *
Re z
z1 z2
2
*
*
,
* *
z1 z2 ,
z z,
2i
z1 z2
*
2
* *
z1 z2 ,
2
2
z z ( x iy )( x iy ) x y z
Деление.
*
* x x y y
z1 z1 z2 z1 z2
1 2
1 2 i y1 x2 y2 x1
2
2
2
2
z2 z2 z*2 z 2
x 2 y2
x 2 y2
2

24.

Примеры.
2
2
z x iy x y i 2 xy ;
1, n 4k
i
n 4k 1
n
*
i
, k 0,1,2...; i i;
1 n 4k 2
i n 4k 3
2
2
3 4i 3 4i 2 3i 6 12
8 9
i
2 3i 2 3i 2 3i 22 32 22 32
6 17
1
i
i ;
i
13 13

25.

Z
-2+2i
Re z=0
Комплексные числа можно изображать точками
на комплексной плоскости.
Y (Im z)
2
2+2i
1
i
X (Re z)
0
-2
-1
0
-1
-2-2i
-2
1
-i
2
Im z=0
2-2i

26.

Z
iy
Arg z arg z 2 k
0
Im z
r
j
j
r
z=x+iy
z
Re z
x
-iy
z*=x-iy

27.

Модуль и аргумент комплексного числа
(x,y) (r,j).
Полярные координаты
x r cos j
y r sin j
Модуль комплексного числа:
2
2
r x y z
Re z Im z
2
2
Аргумент комплексного числа:
y Im z
tg j
; j j 0 2 k; 0 j 0 0 2
x Re z
Arg z arg z 2 k;
0 arg z 0 2 Главное значение аргумента.

28.

arg z
-разрез по Re z 0 - PC Soft
0 arg z 2
-разрез по Re z 0 -литература
Примеры. 0 0, arg 0 — не определен!
i 1, arg i ;
2
1 1, arg 1 ; i 1, arg i ;
2
z 2 2i , z 2 2 , arg z ;
4
1 1, arg1 0;

29.

Тригонометрическая форма записи
z x i y , x r cos j , y r sin j .
z r cosj i sinj , r z , j Arg z .
формула Эйлера: j e
ij
cosj i sinj , j R.
Показательная форма записи
ij
z re
, r z , j Arg z .
Теорема. Пусть j , R, k Z , тогда
i0
ij i
i j
1) e
3) e
i j 2 k
1; 2) e e
ij
e ; 4) e
ij
e
1
ij
;
; 5) e
ij
1.

30.

Примеры.
i0
1 1 cos 0 i sin 0 e ;
i
i 1 cos i sin e 2 ;
2
2
i
1 1 cos i sin e ;
i
3 i 2e 6 ;
3
i
2 2i 2 2e 4 ;
2
i
i 3 1 2e 3 ;
i
i 1 cos i sin e 2 ;
2
2
3
i
i
i
i
i 4
i 4
4
e e e e e e 4 .

31.

Вопрос.
j
j
i 2
ij
2 12 1 j ?
e e
Умножение и деление в показательной форме.
ij 1
ij 2
z1 r1e , z2 r2e
,
z1 r1 i j1 j 2
i j1 j 2
e
.
z1 z2 r1r2e
,
z2 r2
ij
Формула Муавра. z re r cosj i sinj .
n
n
n inj
n
z r e
r cosj i sinj
n
r cos nj i sin nj .
cosj i sinj cos nj i sin nj
n

32.

Извлечение корня. z re
ij
r cosj i sinj
r cos j 2 k i sin j 2 k re
i j 2 k
;
j 2 k
i
n z n re n ,
n z n r cos j 2 k i sin j 2 k ,
n
n
k 0, 1 , n 1.
Корень n-той степени из комплексного числа
принимает n различных значений.

33.

Примеры.
1 i
3
3 i
2 e 4
3
9
i
3
i
3
3
4
2 e
2 e 4
3 2
2 cos i sin
4
4
3
2
2
i 2 2i .
2
2

34.

3 2 2i
1
i 2
1 / 3 3 4
8 e
k
i
e 12 , k 0;
7
i
2
e 12 , k 1;
3
i 5
i
e 4 e 4 1 i , k 2;

35.

i0
e 1, k 0;
i
2 k
i
2
e
i , k 1;
4 1 e 4
i
e 1, k 2;
i 3
i
e 2 e 2 i , k 3.

36.

i
e 4 2 1 i , k 0;
2
i 3
2 k e 4 2 1 i , k 1;
i
4 1 e
2
4
3
i
2
4
1 i , k 2;
e
2
i
2
4
e
1 i , k 3.
2

37.

Множество комплексных чисел C образует поле.
Поле С не является упорядоченным.
В упорядоченном поле P
a ,b P
a 0 В поле С 12 i 2 0, но
a b 0
.
b 0
1 0, i 0.
2
2
Операция сравнения в С не определена.
Утверждение 1 i i 1 0 неверно.
Модуль
2
z x y
аксиомам норм.
2
удовлетворяет

38.

Неравенства треугольника.
z1 z2 z1 z2 z1 z2
Упорядоченная четверка E C , , ,
является нормированным векторным
пространством над полем R. Оно превратится в
метрическое пространство, если z1 , z2 C
ввести метрику по формуле z1 , z2 z1 z2 .
Из теоремы Фробениуса следует, что поле С
является «максимальным» числовым полем
и дальнейшее расширение понятия числа
невозможно.

39.

Некоторые простейшие множества точек
на комплексной плоскости.
z z0 a
z z0 a
z z0 a
a
z0

40.

arg z z0
arg z z0
arg z z0
z0

41.

Im z b
Im z b
Im z b
Re z a
ib
Re z a
Re z a
a