Параллельность прямых и плоскостей. Взаимное расположение прямых в пространстве

1. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей. Взаимное расположение прямых в пространстве».

2.

По трем точкам, не лежащим По двум пересекающимся
прямым.
на одной прямой.
По прямой и точке, не лежащей По двум
на данной прямой.
параллельным прямым

3.

Параллельность
Важное следствие
прямой и плоскости
a
a
b
a
a | | b a | |
b
b
b
a | |
a | |b
a

4.

Признак
скрещивающихся
прямых
Угол между
скрещивающимися
прямыми
а
с
b
a
b M a и b скрещивающиеся пр.
M a
Найти : (а; b)
a, b a, c ,
где с | | b

5.

• 1) Дано: точки А,В,С,Д не принадлежат
одной плоскости.
• Доказать: любые три точки являются
• вершинами треугольника.
Треугольником называется фигура,
образованная тремя точками,
не лежащими на одной прямой и
соединенными отрезками.

6. Метод от противного

Предположим, что
три точки А, В и С не являются
вершинами треугольника,
А В
т.е. лежат на одной прямой
a
С
Д
Тогда существует пл ( а, Д ) . И все
четыре точки принадлежат одной
плоскости. Это противоречит условию.
Следовательно, наше предположение
неверно. Любые три точки из четырех
могут являться вершинами треугольника.

7. Устная работа

Дано : a | | b, c a K , c b Д .
2)
Д
К
a
с
Доказать : прямая с лежит
в одной плоскости с прямыми
b
a и b
Доказательство :
1.Существует пл. (а, b)
2. К а, а К
Д b, b Д
К , Д
3.
с ( Аксиома 2)
К с, Д с

8. Устная работа

Дано :
3).
А
а ) ДОВ 50
Д
б ) ДОА 120
О
С
В
Найти :
( АВ, СД )
Решение :
а) ( АВ, СД ) ДОВ 50
б ) ( АВ, СД ) ДОВ 180 120 60

9.

Дана трапеция АВСД с основаниями АД и
ВС. Через середины боковых сторон
проведена плоскость .
Докажите, что | | АД .

10. Проверьте свое решение.

В
М
А
Решение :
Дано : АВСД трапеция ,
С
АД и ВС основания ,
Т
М середина АВ,
Т середина СД ,
Д
пл. ( М , Т )
Доказать : | | АД .
1) М , Т МТ (аксиома ).
2) МТ средняя линия трапеции.
Значит, МТ | | АД
АД
3) АД | | МТ АД | | (по признаку )
МТ

11. Задача №2

Дано : ДМС , | | МС ,
Задача №2
Д
ДМ К , ДС О,
1
К
М
ДК 1
, КО 4 см
ДМ 3
Выполните рисунок к
Найти : задаче.МС
Длину какого
О
2
С
отрезка можно найти
Решение.
ДМС КО
1) МС | |
КО | | МС (следствие)
МС ДМС
2) КДО~ МДС , т.к.
1 2 (соответственные углы при КО | | МС ),
Д общий; k
ДК 1
ДМ 3
3) МС 4 3 12 см
Ответ : МС 12 см.

12.

Прямая МК параллельна стороне СД ромба АВСД
и не лежит в плоскости ромба.
а) Выясните взаимное
расположение прямых
МК и ВС
б) Найдите угол между прямыми МК и ВС, если
СВА 140 .
K
M
Д
Решение.
1). Сущ. СД , МК , т.к. СД | | МК .
МК
А 2). ВС С МК и ВС скрещив. пр.
С
В
С МК
(по признаку )
3) ( МК , ВС ) (СД , ВС ) ДСВ
180 140 40 .
Ответ :40 .

13.

Аксиомы и следствия
Определения
Признаки
Параллельности прямой и
плоскости
Скрещивающихся прямых
Важное следствие 1