Теоремы синусов и косинусов (9 класс)

1. Теоремы синусов и косинусов.

ГЕОМЕТРИЯ, 9 КЛАСС.

2.

Самостоятельная работа:
1 вариант:
8
150
2 вариант:
S 20
?
45
d1 8см
d 2 12см
S ?
?
45
5
8
S 18
S ?
60
6

3. Теорема косинусов. История.

Утверждения, обобщающие
теорему Пифагора и
эквивалентные теореме
косинусов, были
сформулированы отдельно
для случаев острого и тупого
угла в 12 и 13 предложениях
II книги «Начал» Евклида.

4. Теорема косинусов. История.

Утверждения, эквивалентные теореме
косинусов для сферического
треугольника, применялись в
сочинениях математиков стран Средней
Азии. Теорему косинусов для
сферического треугольника в
привычном нам виде
сформулировал Региомонтан, назвав её
«теоремой Альбатегния» (по имени алБаттани).

5. Теорема косинусов. История.

В Европе теорему косинусов
популяризовал Франсуа
Виет в XVI столетии. В
начале XIX столетия её
стали записывать в
принятых по сей день
алгебраических
обозначениях.

6.

Теорема косинусов:
A
с
b
C
B
а
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное произведение
этих сторон на косинус угла между ними
a b c 2bc cos A
2
2
2

7.

8. Теорема синусов. История.

Самое древнее доказательство для
теоремы синусов на плоскости описано
в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат
о полном четырёхстороннике»
написанной в XIII веке. Теорема
синусов для сферического треугольника
была доказана математиками
средневекового Востока ещё в X веке. В
труде Ал-Джайяни XI века «Книга о
неизвестных дугах сферы» приводилось
общее доказательство теоремы синусов
на сфере
Насир ад-Дин Ат-Туси

9.

Теорема синусов:
A
с
b
C
а
B
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c
sin A sin B sin C

10. Теорема синусов

Замечание: Можно доказать, что отношение
стороны треугольника к синусу противолежащего
угла равно диаметру описанной окружности.
Следовательно, для любого треугольника ABC со
сторонами AB=c, BC=a, CA=b имеют место
равенства
Где R – радиус описанной окружности.

11.

12.

1) Запишите теорему синусов
для данного треугольника:
M
MN
NK
KM
sin K sin M sin N
K
N
2) Запишите теорему косинусов для вычисления
стороны МК:
MK NM NK 2 NM NK cos N
2
2
2

13.

Найдите угол В.
А
45
В
4
4 2
С
BC
AC
sin A sin B
AC sin A
sin B
BC
4 sin 45
sin B
4 2
1
sin B
2
B 30

14.

А
Найдите длину стороны ВС.
45
3
2 2
В
С
BC AC AB 2 AC AB cos A
2
2
2
BC (2 2 ) 3 2 2 2 3 cos 45
2
BC 5
2
2
2
BC 5

15.

А
Найдите длину стороны АВ.
2 2
60
В
С
5 2
AB AC CB 2 AC CB cos C
2
2
2
BC (2 2 ) (5 2 ) 2 2 2 5 2 cos 60
2
2
BC 38
2
2
BC 38

16.

M
M 45 , K 30 ,
45
KN 4 6
4 6
Найдите MN.
K
30
N
MN
KN
sin K sin M
4 6 sin 30
MN
sin 45
KN sin K
MN
sin M
MN 4 3

17.

A
α
с
b
C
γ
β
а
B
Запишите формулу для вычисления:
АВ
,если
если
С
,
АС
а b.
ВС
АС
АВ
ВС
А
са ,, АС
bС
,
,ВС
С,
В, если
ВВ
,
, A
С
2 sin 2
2
а
b
sin
а2 (
b c)
2 180
АС
В
.cos
ВСcos
АВ
сС bsin( 2bc
ab )
sin2

18. Используемые источники:

http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-
kosinusov0.html
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/
teorema-sinusov-i-kosinusov
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb
/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500pxJohannes_Regiomontanus2.jpg
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/11
0217775_Nesreddi_tusi.jpg
http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117