Теоремы синусов и косинусов. 9 класс

1. Теоремы синусов и косинусов.

9 класс.

2.

Теорема синусов:
A
с
b
C
а
B
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c
sin A sin B sin C

3.

Теорема косинусов:
A
с
b
C
B
а
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное произведение
этих сторон на косинус угла между ними
a b c 2bc cos A
2
2
2

4.

1) Запишите теорему синусов
для данного треугольника:
M
MN
NK
KM
sin K sin M sin N
K
N
2) Запишите теорему косинусов для вычисления
стороны МК:
MK NM NK 2 NM NK cos N
2
2
2

5.

Найдите угол В.
А
45
В
4
4 2
С
BC
AC
sin A sin B
AC sin A
sin B
BC
4 sin 45
sin B
4 2
1
sin B
2
B 30

6.

А
Найдите длину стороны ВС.
45
3
2 2
В
С
BC AC AB 2 AC AB cos A
2
2
2
BC (2 2 ) 3 2 2 2 3 cos 45
2
BC 5
2
2
2
BC 5

7.

А
Найдите длину стороны АВ.
2 2
60
В
С
5 2
AB AC CB 2 AC CB cos C
2
2
2
BC (2 2 ) (5 2 ) 2 2 2 5 2 cos 60
2
2
BC 38
2
2
BC 38

8.

M
M 45 , K 30 ,
45
KN 4 6
4 6
Найдите MN.
K
30
N
MN
KN
sin K sin M
4 6 sin 30
MN
sin 45
KN sin K
MN
sin M
MN 4 3

9.

A
α
с
b
C
γ
β
а
B
Запишите формулу для вычисления:
АВ
,если
если
С
,
АС
а b.
ВС
АС
АВ
ВС
А
са ,, АС
bС
,
,ВС
С,
В, если
ВВ
,
, A
С
2 sin 2
2
а
b
sin
а2 (
b c)
2 180
АС
В
.cos
ВСcos
АВ
сС bsin( 2bc
ab )
sin2