Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

1.

•ИНТЕГРАЛ.
ФОРМУЛА
НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

2.

Здравствуйте!
1.Выполнить рисунок слайд №7
2.Внимательно изучите тему, слайд
6, 8
3.Записать,слайд №9
4. Записать, слайд №9,10,13
5. Рассмотрите пример нахождения
интеграла, слайд №17

3.

4. Вопросы для повторения

•1.
Что называют криволинейной трапецией?
•2. Являются ли фигуры, изображённые на
рисунках криволинейными трапециями?

5. 3. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции

6. Рассмотрим другой подход к вычислению площади криволинейной трапеции

•Будем
считать функцию f
неотрицательной и непрерывной на
отрезке [а; в], тогда площадь S
соответствующей криволинейной
трапеции можно приближённо
подсчитать следующим образом

7.

8. Разобьём отрезок [а; в] на n отрезков одинаковой длины точками

х0 а х1 х2 ... х n 1 х в
n
в а
х
n
Рассмотрим
сумму
S n f ( x0 ) х f ( x1 ) х f ( x2 ) х ... f ( xn 1 ) х
( f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ... f ( xn 1 )) х

9. При n → ∞ Sn→ к некоторому числу

Это
число называют интегралом функции f
от а до в и обозначают:
в
∫ f(х)dх
а

10.

Числа а и в - называются пределами
интегрирования, а – нижним пределом,
в – верхним.
Знак ∫ - называют знаком интеграла
Функцию f называют подынтегральной
функцией, а переменная х – переменной
интегрирования
df- знак дифференциала

11.

Итак, если f( х ) ≥0 на отрезке [а; в], то
площадь соответствующей
криволинейной трапеции выражается
формулой:
в
S = ∫ f(х)dх
а

12.

•Сравнивая
формулы
криволинейных трапеций :
в
S = ∫ f(х)dх и S = F(в) – F(а)
а
Делаем вывод:

13.

•Формула
Ньютона-Лейбница

14.

Иссак Ньютон
(1643-1716)
Готфрид
Лейбниц(1646-1716).

15.

Функ
ция f
K–
пос
тоян
ная
Общи
й
вид
первообр
аз
ных
кх
+С
F
хn
sin x
cos x
(n-целое
n≠1)
хn+1
n+ 1
+C
-cosx
+C
sin x
+C
1
1
сos2x
sin2x
tgx
+C
-ctgx
+C
1
х
2 х

16.

17. Пример:

3
3
3
3
х
3
2
8 1
3
2
2 х dx 3 3 3 9 3 6 3
2
2
х2
2
2
2
(
2
х
4
)
dx
(
2
4
х
)
(
2
8
)
(
1
4) 12 5 7
1
2
1

18.

2
2
х
dx
0
2
х dx
3
1
4
3
(5х 3)dx
1
2
0
sin 5 xdx
П
dx
2
x