Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

1.

Интеграл. Формула НьютонаЛейбница

2. Вопросы для повторения

1.Что называют криволинейной трапецией?
2. Являются ли фигуры, изображённые на
графиках криволинейными трапециями?
3. Запишите формулу для вычисления
площади криволинейной трапеции
.

3. Рассмотрим другой подход к вычислению площади криволинейной трапеции

Будем считать функцию f
неотрицательной и непрерывной на
отрезке [а; в], тогда площадь S
соответствующей криволинейной
трапеции можно приближённо
подсчитать следующим образом

4.

5. Разобьём отрезок [а; в] на n отрезков одинаковой длины точками

х0 а х1 х2 ... х n 1 х в
n
в а
х
n
Рассмотрим
сумму
S n f ( x0 ) х f ( x1 ) х f ( x2 ) х ... f ( xn 1 ) х
( f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ... f ( xn 1 )) х

6.

При n → ∞
Sn→ к некоторому числу. Это число называют
интегралом функции f от а до в и обозначают:
в
∫ f(х)dх
а

7.

Числа а и в - называются пределами
интегрирования, а – нижним пределом, в –
верхним.
Знак ∫ - называют знаком интеграла
Функцию f называют подынтегральной
функцией, а переменная х – переменной
интегрирования
df- знак дифференциала

8.

Итак, если f( х ) ≥0 на отрезке [а; в], то
Площадь соответствующей криволинейной
трапеции выражается формулой:
в
S = ∫ f(х)dх
а

9.

Сравнивая формулы криволинейных
трапеций :
в
S = ∫ f(х)dх и S = F(в) – F(а)
а
Делаем вывод:

10.

Формула Ньютона-Лейбница

11.

Пример
3
1 1 3
2 3
х
х
хdx
1
1 1 1
2
1
2
2
3
1
4
2
2

12.

Функц K –
ия f
пос
тоян
ная
Об
щий
вид
пер
вооб
раз
ных
F
кх
+С
Хn
sin x
cos x
(n-целое
n≠1)
хn+1
n+ 1
+C
-cosx
+C
sin x
+C
1
1
сos2x
sin2x
tgx
+C
-ctgx
+C

13.

14.

15.

Иссак Ньютон
(1643-1716)
Готфрид
Лейбниц(1646-1716).