Скалярное произведение векторов

1.

Скалярное
произведение векторов
mathvideourok.moy.su

2.

Угол между векторами
В
b
a
О
α
( a; b ) = (ОА; ОВ) = α
А

3.

Определите угол между
векторами
m
b
n
p
30о
a
k
с
d

4.

( a; b ) = α
Если 0, то а в
Если 90 , то а в
Если 180 , то а в

5.

Определение скалярного
произведения
Скалярным
произведением
двух
векторов
называется произведение их длин на косинус угла
между ними.
a ∙ b = │a│∙│b│ cos ( a; b )
Скалярное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда эти векторы
перпендикулярны.
a∙b=0 ;
a b

6.

Например :
а 2
в 4
60
а в ?
а в а в cos
1
а в 2 4 cos 60 8 4
2
Ответ : 4

7.

Скалярное произведение в
координатах
Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное
произведение вектора на себя) равен квадрату его
длины.
a ∙ a = a2 = |a|2
Теорема: скалярное произведение векторов
a{x1; y1} и b{x2; y2} выражается формулой
a ∙ b = x1x2 + y1 y2

8.

Например :
а 3; 4 в 1; 2
а в ?
а в х1 х2 у1 у2
а в 3 1 4 2 5
Ответ : 5

9.

Скалярное произведение в
координатах
Следствие 2: косинус угла между ненулевыми
векторами a{x1; y1} и b{x2; y2} выражается формулой
cos α =
x1x2 + y1 y2
√x12 + y12 ∙ √x22 + y22
Следствие 1: ненулевые векторы a{x1; y1} и b{x2; y2}
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
x1x2 + y1 y2 = 0

10.

Например :
а 3; 4 в 8;6
? между векторами
Решение :
Cos
х1 х2 у1 у2
х у х у
2
1
2
1
2
2
2
2
3 ( 8) 4 6
Cos
0
9 16 64 36
90

11.

Свойства скалярного
произведения
Для любых векторов a, b и c и любого числа k
справедливы соотношения:
1о a2 ≥ 0, причем a2 > 0 при а ≠ 0.
2о a ∙ b = b ∙ a (переместительный закон).
3о ( a + b ) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с (распределительный
закон).
4о ( k a ) ∙ b = k ( а ∙ b ) (сочетательный закон).