Производные функции нескольких переменных (часть 1)

1.

Производные функции
нескольких
переменных (часть 1)
Введение в математический анализ

2.

План
1. Разберём ДЗ
2. Несколько слов о математическом моделировании.
3. Функции 2-х переменных; функции многих
переменных.
4. Частные производные, дифференциалы функций.
5. Экстремум функции 2-х переменных.
6. Аппроксимация. МНК.
2

3.

Разбор ДЗ по теме «Производные
одной переменной»
3

4.

4

5.

5

6.

6

7.

Задание 2
= - sin(pi + 3*sqrt(pi))(2*sqrt(pi)+3) =
= sin(3*sqrt(pi))(2*sqrt(pi)+3) =
= -5,38 (с округлением)
7

8.

Задание 3
8

9.

9

10.

Задание 4
10

11.

Функции многих переменных.
Где применяется математическое
моделирование?
Модели потребительского выбора, фирмы
(производственные функции);
экономического роста; равновесия на
товарных, факторных и финансовых рынках и
т. д.
Механика жидкости - нефтедобывающая
промышленность.
11

12.

Математическое моделирование –
зачем?
• Упрощенно описать реальность.
• Учесть ключевые факторы.
• Принять решение.
• Математическая модель – основа для
принятия решения.
12

13.

Задачи математического
программирования
Решают: проблему выбора, оптимизации.
У истоков: Канторович, Кун, Таккер.
13

14.

Функция 2-х переменных:
определение.
График функции - поверхность
14

15.

15

16.

Область определения функции 2-х
переменных D(x;y)
16

17.

Примеры поверхностей 2-го порядка
17

18.

Пример
18

19.

Пример
19

20.

Пример
D(x;y)
Круг радиуса 1 в центре с началом координат
20

21.

Функция многих переменных:
определение.
21

22.

Частные производные 1-го порядка
- «дельта икс», приращение переменной x
=
- «дельта игрек», приращение переменной у
22

23.

23

24.

Определение
производной функции
одной переменной
(для сравнения)
24

25.

Вычисление частных производных
25

26.

Сравнение с неявными функциями
В случае неявной функции y зависит от х: y(x)
В случае функции нескольких переменных – нет: z(x,y)
26

27.

Разница между неявными функциями и
функциями нескольких переменных
Неявная функция
Функция двух переменных
у
z
Зависит
от
y
x
27
х

28.

Вычислить:
28

29.

Вычисление частных производных
29

30.

30

31.

Частный дифференциал функции
многих переменных W(x,y,z)
dx – «дифференциал икс» - произвольное бесконечно малое приращение
переменной величины
31

32.

Частный дифференциал не путаем с
частной производной функции
многих переменных
Частный дифференциал равен частной
производной умноженной на приращение
32

33.

Полный дифференциал функции
многих переменных W(x,y,z)
33

34.

Полный дифференциал функции
многих переменных W(x,y,z)
34

35.

35

36.

dW = W’(x)dx+W’(y)dy+W’(z)dz
dW=(2cos(2x)+cos(5y))dx5xsin(5y)dy-(7/(cos(7z)^2)dz
dW(0;0;0)=3dx-7dz
36

37.

dW (0;0;0) = 3dx-7dz
Интерпретация
В точке (0;0;0) при бесконечно малых
приращениях x, y и z главную линейную часть
приращения функции W можно вычислить по
формуле.
37

38.

Частные производные 2-го порядка
38

39.

Частные производные 2-го порядка
39

40.

40

41.

41

42.

42

43.

43

44.

44

45.

45

46.

46

47.

Экстремум функции 2-х переменных
47

48.

Локальный и глобальный экстремумы: разница
минимумов
минимум
48

49.

Найти наибольшее и наименьшее значения
функции на заданном отрезке
http://mathprofi.ru/naibolshee_i_naimenshee_znacheniya_funkcii_na_otrezke.html
(пример 3)
49

50.

Экстремум функции 2-х переменных
Необходимые условия экстремума.
Частные производные равны нулю или не существуют.
Точки, для которых это выполняется, называются критическими.
Точки, в которых производная равна 0, называются стационарными.
Технически – решаем систему уравнений
Важно!
Не каждая критическая точка является точкой экстремума.
Аналог для функций одной переменой: точки перегиба (y = x3 )
50

51.

Необходимые условия экстремума
функции нескольких переменных
z’x=0
z’y=0
(для стационарных точек)
51

52.

Достаточное условие экстремума
(для стационарных точек)
1
2
Минимум
Максимум
52

53.

Определитель матрицы 2х2
53

54.

К достаточному условию есть несколько
подходов
Два математических:
• через полный дифференциал второго порядка
(требует большого навыка работы с числами);
• через уравнения касательной плоскости (является
самым сложным способом, но при этом самым
надежным).
Два алгебраических:
• через критерий Сильвестра (с помощью матрицы
Гёссе. Является самым простым способом, но требует
начального уровня знания в линейной алгебре);
• через собственные значение матрицы Гёссе
(является самым быстрым, но требует более
глубокого уровня знания в линейной алгебре).
54

55.

Пример: исследовать на экстремум
функцию
55

56.

Необходимые условия
56

57.

Достаточные условия (частный случай
критерия Сильвестра)
М1 (0;0)
М2 (1;0.5)
57

58.

Источник: www.linis.ru
58

59.

Комментарий к записи
59

60.

Аппроксимация
60

61.

• Интерполяция — способ нахождения
промежуточных значений величины по
имеющемуся дискретному набору
известных значений.
• Экстраполяция — способ построения
функции вне интервала известных
значений.
61

62.

62

63.

Функция одной переменной: практический пример
интерполяции
63

64.

Функция одной переменной: практический пример
интерполяции
64

65.

65

66.

66

67.

67

68.

МНК
68

69.

69

70.

70

71.

Оценка качества модели:
коэффициент детерминации
Находится в диапазоне от 0 до 1;
Чем ближе к 1, тем лучше модель.
71

72.

МНК для нелинейных функций
Взвешенный МНК
Обобщённый МНК
И т. д.
72

73.

МНК для нелинейных функций
73

74.

МНК для нелинейных функций
74

75.

Спасибо!
75