Определители и их применения

1.

ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ»
1

2. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ
2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ДОПОЛНЕНИЯ
3. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

3

4.

• Каждой квадратной матрице можно
поставить в соответствие число,
определяемое единственным образом с
использованием всех элементов
матрицы. Это число называется
определителем.
A
a11
a12
...
a1n
a 21
a 22
...
a2n
...
...
...
...
a n1
a n2
...
a nn
определитель существует только для
квадратных матриц
4

5. определение

• определителем третьего порядка
квадратной матрицы называется число
Δ=
A
a
a
a
a
11
= det A=
a
21
31
12
a
22
32
a
13
a
a
23
33
5

6. Свойства определителей

Свойство 1. Определитель не изменяется
при транспонировании, т.е.
a11
a12
a11
a 21
a31
a 21 a 22
a 23 a12
a 22
a32 .
a31
a33
a 23
a33
a32
a13
a13
6

7. Свойства определителей

Свойство 2. При умножении элементов
строки определителя на некоторое
число весь определитель умножается
на это число, т.е.
ka11
ka12
ka13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a11
a12
a13
k a 21
a 22
a 23 .
a 31
a 32
a 33
7

8. Свойства определителей

Свойство 3. Определитель, имеющий
нулевую строку, равен 0.
a11
a12
a13
0
0
0
a 31
a 32
a 33
0.
8

9. Свойства определителей

Свойство 4. Определитель, имеющий две
равные строки, равен 0.
a11
a12
a13
a11
a12
a13 0.
a 31
a 32
a 33
9

10. Свойства определителей

Свойство 5. Определитель, две строки
которого пропорциональны, равен 0.
a11
a12
a13
ka11 ka12
ka13 0.
a31
a33
a32
10

11. Свойства определителей

Свойство 6. При перестановке двух строк
определителя он умножается на –1.
a 21
a 22
a 23
a11
a12
a13
a11
a12
a 22
a 23 .
a 31
a 32
a13 a 21
a 33
a 31
a 32
a 33
11

12. Свойства определителей

Свойство 7.
b1 c1 b2 c 2 b3 c3
b1
b2
a 21
a 22
a 23
a 21 a 22
a31
a32
a33
a 31
a 32
b3
c1
c2
c3
a 23 a 21
a33
a 31
a 22
a 23 .
a 32
a 33
12

13. Свойства определителей

Свойство 8. Величина определителя не
изменится, если к элементам одной
строки прибавить соответствующие
элементы другой строки, умноженные
на одно и то же число.
13

14. СПОСОБ 1 ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Способ Саррюса
14

15. Способ Саррюса

Суть состоит в том, что справа от
определителя приписывают первый и
второй столбец и аккуратно
карандашом проводят линии:
15

16. ПРИМЕР1: вычислить определитель

16

17. Задание 1: вычислить определитель III порядка

1)
3)
2 3 4
1 2 1
1 2 4
2) 2 3 1
1 2 4
0 1 3
1 4
3
2
1
0
4
2 2
17

18. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

18

19. МИНОР ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

МИНОРОМ ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ,
ПОЛУЧЕННЫЙ ИЗ ИСХОДНОГО
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПРИ ПОМОЩИ
ВЫЧЕРКИВАНИЯ СТРОКИ И
СТОЛБЦА, В КОТОРЫХ
СТОИТ ЭТОТ ЭЛЕМЕНТ
19

20. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ МИНОРА

МИНОР M 21 ЭЛЕМЕНТА a21 ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
3 1 2
4
2 0
7
9 1
ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ТАК:
1 2
M 21
9 1
1 2
9
1
1 18 19
20

21. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ Aij
ЭЛЕМЕНТА aij ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО
Aij ( 1)i j M ij ,
ГДЕ M ij МИНОР ЭЛЕМЕНТА aij
21

22. СПОСОБ 2 ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

22

23. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЛЮБОЙ СТРОКЕ (ЛЮБОМУ СТОЛБЦУ)

Теорема . Определитель равен
сумме произведений элементов
любой его строки или столбца на
их алгебраические дополнения, т.е.
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 a ij Aij ,
a 31
a32
a 33
3
j 1
23

24. ПРИМЕР2: вычислить определитель

24

25. Задание 2: вычислить определитель III порядка

1)
1 2 3
1 2 4
0 3 1
3)
2)
1
2
3
5
1
1
2
1
4
4 1 8
0 3 2
8 1 0
25