Определители

1. Содержание

1. Определители
2. Элементы теории матриц
3. Системы линейных уравнений
4. Элементы векторной алгебры
5. Прямая на плоскости и плоскости

2. Определители

3.

• Рассмотрим таблицу
a11
a
21
a12
a 22

4.

Числа
a11 , a12 , a21 , a22
– это
элементы таблицы.
aij
i номер строки;
j номер столбца

5.

• Число строк – порядок таблицы.
• Главная диагональ – диагональ
идущая с левого верхнего угла в
правый нижний.
• Побочная диагональ – диагональ
идущая с верхнего правого угла в
левый нижний.

6.

a11
a
21
побочная
a12
a 22
главная

7.

• Число
a11 a22 a21 a12
называется определителем 2-го
порядка .

8.

a11
a12
a21
a22
a11 a22 a21 a12

9. Определители третьего порядка

10.

• Рассмотрим таблицу
a11
a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33

11.

• Число
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a13a22 a31 a11a23a32 a12 a21a33
называется определителем третьего
порядка

12.

a11 a12
a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

13. Методы вычисления определителей третьего порядка

14. Правило треугольника

15.

Три произведения элементов, стоящих на
главной диагонали и в вершинах двух
треугольников:
берутся со знаком " ", а три произведения
элементов, стоящих на побочной диагонали и
в вершинах двух других треугольников:
берутся со знаком " ".

16. Разложение по элементам какой-либо строки(столбца)

17. Минор

18.

Опр. Минором элемента определителя
3-го порядка называется определитель
2-го порядка, получающийся из данного
определителя вычёркиванием строки и
столбца, в которых расположен элемент.

19. Обозначение минора

Минор элемента , стоящего на
пересечении i-й строки и j-го
столбца определителя,
обозначают
M ij

20. Алгебраическое дополнение

21.

Опр. Алгебраическим дополнением
элемента определителя
3-го
порядка называется минор
этого элемента, умноженный на
(-1) в степени k , где
k i j.

22.

Aij 1 M ij
k
Aij 1 M ij
i j

23. Теорема разложения

Определитель 3-го порядка равен
сумме произведений элементов
какой-либо строки (столбца)
определителя на их
алгебраические дополнения.

24.

Таким образом,
разложений:
имеет
место
шесть
a11 A11 a12 A12 a13 A13 ,
a 21 A21 a 22 A22 a 23 A23 ,
a 31 A31 a 32 A32 a 33 A33 ,
a11 A11 a 21 A21 a 31 A31 ,
a12 A12 a 22 A22 a 32 A32 ,
a13 A13 a 23 A23 a33 A33 .

25. Свойства определителей

1.Определитель не меняет своего
значения при замене каждой строки
соответствующим столбцом.
2.Определитель изменит знак ,если
поменять местами любые две
строки или столбца.

26.

3.Общий множитель элементов
какого-либо строки (столбца) определителя
можно выносить за знак определителя.
4.Определитель равен нулю, если он
имеет два одинаковых столбца или две
одинаковые строки.
5.Определитель равен нулю, если элементы
какой-либо строки (столбца) все равны нулю.

27.

6. Значение определителя
не
изменится, если к элементам строки
или столбца прибавить соответствующие
элементы другой строки или столбца,
умноженные на одно число.

28. Определители высших порядков

29.

a11 a12 a13 a14
a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
a 21 a 22 a 24
a 22 a 23 a 24
a11 a 32 a 33 a 34 a12 a 31 a 33 a 34
a 42 a 43 a 44
a 21 a 22 a 23
a13 a 31 a 32 a 34 a14 a 31 a 32 a 33
a 41 a 42 a 44
a 21 a 23 a 24
a 41 a 42 a 43
a 41 a 43 a 44

30.

• С помощью свойства 6 добиваются
того, чтобы в некоторой строке или в
некотором столбце все элементы,
кроме одного, были равны нулю.
• Затем раскладывают определитель
по элементам этой строки или столбца.

31.

2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3
1 2 1 3

32.

2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3 (-1)
1 2 1 3
+

33.

2
1 0 2
3
2 1 0
1 0 1 3
0
2 0 0

34.

2 1
4 2
2
0 2
3
1 0
1 1 3

35.

2
2 3
0 2
1 0 (-1)
+
1 1 3

36.

2
2 3
0 2
1 0 2 1 1
4 0 3
2 6 8 28
2 2
2
2
4 3

37.

3 1
2
1 1
2
1
2
9 1
1
3
4
3
0
6
1 3
5
2
3
2 1
5
1

38.

+
+
3 1
2
1 1
2
1
2
9 1
1
3
4
3
0
6
1 3
5
2
3
2 1
5
1
+
+
(-2)
(-3)

39.

0
0
0
1
1 3 6
3
2
3 3 7
7
4
0
2
3
1
1 1
6 3
2
3
0

40.

1 1
1 5
1 3 6
3
3 3 7
7
6 3
0
2
1
1
2
3
1 1 6
3
3 1 7
3 (-1)
+
7
6 1
0
2
1
1
2
1
+
+

41.

3
1 1 6
3
2 0
1
4
5 0
6
1
7
4
3
0
2 1
3 1 1 5
1 2
3
4
(-5) 3
6
1
+
7
4
2
+
2

42.

2 1
1
3 0
4
0
4
17 22 3 2 1
1 1
11
4
1
1860
6 68 242
465
4
4
1 17 22
4 11 4

43. Метод приведения к треугольному виду

Метод приведения к треугольному
виду заключается в таком
преобразовании данного определителя,
когда все элементы его, лежащие над
(под) главной диагональю, становятся
равными нулю.

44.

a11
0
0
0
a21
a22
0
0
a31
a32
a33
0
a41
a42
a43
a44
a11 a22 a33 a44

45.

а11
а12
а13
а14
0
а 22
а 23
а 24
0
0
а 33
а34
0
0
0
а 44
а11 а 22 а 33 а 44