Деформации

1. Деформации

• Деформацией называется изменение взаимного
расположения точек тела под действием внешних сил .
• Если устранение причины деформации (разгрузка)
приводит к исчезновению деформации, то деформацию
называют упругой или обратимой.
• Если устранение причины деформации не приводит к
полному исчезновению деформации, то оставшуюся часть
деформации называют необратимой или пластической.
• Различают абсолютную деформацию и относительную
деформацию

2. Абсолютная деформация

• Абсолютная деформация характеризует
интегральную реакцию тела на внешнее воздействие.
Примеры абсолютной деформации – прогиб балки,
удлинение стержня, угол закручивания вала.
• Мерой абсолютной деформации является перемещение
одной или нескольких точек тела из начального
положения в конечное.

3. Абсолютная деформация

4. Относительная деформация

• Чтобы получить характеристику интенсивности
изменения взаимного расположения точек тела, вводят
понятие относительной деформации.
• Относительная деформация характеризует реакцию
рассматриваемой точки (области) тела на внешнее
воздействие.
• Различают линейную и угловую относительную
деформацию
• Под точкой тела в сопротивлении материалов
понимают элементарный параллелепипед вокруг
заданной точки.

5. Относительная линейная деформация

Под действием сил произойдет изменение размеров граней
параллелепипеда
y
dy
dy
dx
dx
x
Относительная линейная деформация x – это отношение
удлинения dx отрезка к его начальной длине dx .
x
Аналогично
dy
y
dy
dx
dx
z
dz
dz

6. Относительная угловая деформация

Предположим, что элемент изменил также форму – прямоугольный
параллелепипед стал косоугольным.
Определим угловую деформацию xy как меру изменения прямого
угла, в данном случае угла между осями x и y :
dx dx
xy a tan
dy
dy
Аналогично
dy
yz
dz
dz
zx
dx

7. Закон Гука. Модули упругости

Закон Гука отражает экспериментально установленную
линейную зависимость между относительными
деформациями и напряжениями.
Для нормальных напряжений
x E x ,
где Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга).
Для касательных напряжений
xy G xy ,
где G – модуль упругости второго рода (модуль сдвига).

8. Коэффициент Пуассона

Коэффициент Пуассона устанавливает связь
между продольными x и поперечными ( у и y )
относительными деформациями.
y
z
x x

9. Растяжение – сжатие прямого стержня

Растяжение (сжатие) – деформация
стержня под действием сил, направление
действия которых совпадает с осью
стержня, проходящей по центрам
тяжести всех нормальных сечений
стержня.

10. Построение эпюр внутренних сил, напряжений, относительных деформаций и перемещений сечений

• Дан стержень, закрепленный с одного конца
и нагруженный силами Р1 и Р2

11. Вычисление реакции опоры R

Заделка на левом конце противодействует силам P1 и P2 , возникает
реакция опоры R. Заменим заделку этой реакцией и вычислим ее
значение.
F1
P1
R
P2
F2
0
x p1
x1
x p2
x2
х
Спроектируем все силы на ось х, запишем уравнение равновесия и найдем
значение R.
R P1 P2 0 ;
R P2 P1 .

12. Вычисление продольной внутренней силы (Первый силовой участок)

Проведем сечение стержня на участке
0 x x p1
Рассмотрим левую часть, связав с сечением координатную систему (X,
Y, Z). Действие отброшенной правой части на левую часть заменим
силой N X , направив ее от сечения в направлении оси Х.
NX
R
R1 N X 0
Х
0
х
N X R P2 P1

13. Вычисление продольной внутренней силы (Второй и третий силовой участок)

Проведем сечение стержня на участке
NX
P1
R
R1 P1 N X 0
Х
0
x p1 x1
x1
х
x p1 x x p 2
N X R P1 P2

14. Вычисление продольной внутренней силы (Четвертый силовой участок)

Проведем сечение стержня на участке
P1
R
P2
x1
x p 2 x x2
NX
Х
0
x p1 x1
x1
x p2
R1 P1 P2 N X 0
х
R P2 P1
N X R P1 P2 0

15. Построение эпюр внутренних сил, напряжений, относительных деформаций и перемещений сечений.

• Дан стержень, закрепленный с одного конца
x1
0.2 m
F1
9 cm
2
x2
0.4 m
F2
22 cm
2
x p1
0.1 m
x p2
0.3 m
P1
120 kN
P2
60 kN

16. Распределение температуры по длине стержня

5
2 10 MPa
T
T ( x)
19 K
5 1
1.2 10 K
0 if 0 x x p2
T if x p2 x x 2
0 K otherwise
0
Температура, К
E
10
20
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м

17. Распределение площади сечения стержня по длине стержня

F 1 if 0 x x 1
F ( x)
F 2 if x 1 x x 2
2
Площадь сесения, кв.см
0 m
otherwise
30
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м

18. Эпюра продольной внутренней силы

Внутренняя продольная сила равна алгебраической сумме сил,
действующих по одну сторону от сечения. Сила, направленная
справа налево, берется со знаком «плюс» .
N X ( x)
R if 0 x x p1
R
P 1 if x p1 x x p2
R
P1
P 2 if x p2 x x 2
Продольная сила N.x ,, кН
0 kN otherwise
100
50
0
50
100
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м

19. Напряжения при растяжении

dN X X dF
N X X dF X F
F
NX
X
F
N X ( x)
X x
F ( x)

20. Эпюра нормальных напряжений

X ( x)
N X ( x)
F ( x)
Напряжение, MPa
100
50
0
50
100
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м

21. Деформации и перемещения при растяжении

dx X
NX
X
dx
E
EF
x
N X dx
dx X dx
EF
N X x dx
N x X x dx
0
0 E x F x
x
x
N X dx
N x X dx
0
0 EF
x
Температурное удлинение стержня равно
x
T x T x dx ,
0
где - коэффициент линейного температурного расширения и T x закон изменения температуры по длине стержня.
x
x
0
0
U x N x T x X x dx T x dx
NX L
U
TL
EF

22. Эпюра относительных линейных деформаций

X ( x)
Относит. деформация, эпсилон
X ( x)
E
4 10
4
2 10
4
T ( x)
0
2 10
4
4 10
4
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м

23. Эпюра перемещений сечений стержня относительно опоры

x
X ( x) d x
U ( x)
Перемещение сечения U, мм
0
0.02
0
0.02
0.04
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
.

24. Итоги построения эпюр

Напряж ение, M Pa
П р од ол ьн ая с и л а
N .x ,, к Н
Объединим рисунок стержня и все построенные эпюры
100
Эпюра N X
50
0
50
100
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
100
50
Эпюра X
0
50
100
0
0.1
0.2
Координата сечения x, , м
0.3

25. Итоги построения эпюр (продолжение)

4 10
4
2 10
4
0
2 10
4
4 10
4
Эпюра X
0
0.1
0.2
0.3
Координата сечения x, , м
П е р е м ещ е н и е с е ч е н и я U , м м
О т н о с и т . д е ф о р м а ц и я , э п с и л о н
Итоги построения эпюр (продолжение)
0.02
0
0.02
0.04
0
0.1
0.2
Координата сечения x, , м
0.3
.
Эпюра U X