Численные методы решения дифференциальных уравнений

1.

Численные методы решения
дифференциальных уравнений
dy
y ' y ( n ) f ( x, y )
dx
dny
(n)
(1)
(2)
y
f
(
x
,
y
,
y
,
y
,
n
dx
, y ( n 1) )

2.

Численные методы решения
дифференциальных уравнений
dny
(n)
(1)
(2)
y
f
(
x
,
y
,
y
,
y
,
n
dx
, y ( n 1) )
y1 y
dy1
y
2
dx
dy2 y3
dx
dyn f ( x, y , y , y ,
1 2
dx
, yn )

3.

Численные методы решения дифференциальных
уравнений
y1
f1
y
f
Y 2
F 2
y
f
n
n
dY
F ( x,Y ( x ))
dx
Y Y ( x, C )
c1
c
C 2
c
n

4.

Виды задач для ОДУ
• Задача Коши
• Краевая задача
• Задача на собственные значения

5.

Методы решения ОДУ
Аналитические методы
Графические методы
Приближенные методы
Численные методы

6.

Особенности численных методов решения
ОДУ
dY
F ( x,Y ( x ))
dx
x [ x0 ; xn ]

7.

Хорошо обусловленные задачи
dy
y x
dx
0 x 100
y ( x0 ) 1
y ( x, c ) 1 x ce
x
y (0) 1
c 0
y (100) 101
y (0) 1.000001
c 10 6
y (100) 2.7 1037

8.

Метод (формула) Эйлера
dy
f ( x, y )
dx
x [ x0 ; xn ]
y ( x0 ) y0
xn x0
h
n
xi 1 xi h
yi 1 yi hf ( xi , yi )

9.

Формула Эйлера

10.

Формула Эйлера
dy
0.9 x y
dx
x [0;0.2] h 0.1
y (0) 1
x0 0
y0 1
x1 x0 h 0 0.1 0.1
y1 y0 hf ( x0 , y0 ) 1 0.1 (0.9 0 1) 1.100
x2 x1 h 0.1 0.1 0.2
y2 y1 hf ( x1 , y1 ) 1.1 0.1 (0.9 0.1 1.1) 1.219

11.

Формула Эйлера
x
ФЭ
y
0.0
1.000
0.1
1.100
0.2
1.219

12.

Первая улучшенная формула Эйлера

13.

Первая улучшенная формула Эйлера
x [ x0 ; xn ]
промежуточная точка
xi 1/2 xi h / 2
yi 1/2
h
yi f ( xi , yi )
2
xi 1 xi h
yi 1 yi hf ( xi 1/2 , yi 1/2 )

14.

Первая улучшенная формула Эйлера
dy
0.9 x y
dx
x [0;0.2] h 0.1
y (0) 1
x0 0
y0 1
h
0.1
x0 1/2 x0 0
0.05
2
2
h
0.1
y0 1/2 y0 f ( x0 , y0 ) 1
(0.9 0 1) 1.050
2
2
x1 x0 h 0 0.1 0.1
y1 y0 hf ( x0 1/2 , y0 1/2 ) 1 0.1 (0.9 0.05 1.050) 1.110

15.

Первая улучшенная формула Эйлера
h
0.1
x1 1/2 x1 0.1
0.15
2
2
h
y1 1/2 y1 f ( x1 , y1 )
2
0.1
1.110
(0.9 0.1 1.110) 1.170
2
x2 x1 h 0.1 0.1 0.2
y2 y1 hf ( x1 1/2 , y1 1/2 )
1.110 0.1 (0.9 0.15 1.170) 1.240

16.

Формула Эйлера-1УФЭ
x
ФЭ 1УФЭ
y
y
0.0
1.000 1.000
0.1
1.100 1.110
0.2
1.219
1.240

17.

Вторая улучшенная формула Эйлера
x [ x0 ; xn ]
промежуточная точка
xi* xi h
yi* yi hf ( xi , yi )
xi 1 xi h
f ( xi , yi ) f ( xi* 1 , yi* 1 )
yi 1 yi h
2

18.

Вторая улучшенная формула Эйлера
dy
0.9 x y
dx
y (0) 1
x0 0
x [0;0.2] h 0.1
y0 1
x1 x0 h 0 0.1 0.1
*
y1* y0 hf ( x0 , y0 ) 1 0.1 (0.9 0 1) 1.100
x1 x0 h 0 0.1 0.1
f ( x0 , y0 ) f ( x1* , y1* )
y1 y0 h
2
(0.9 0 1) (0.9 0.1 1.1)
1 0.1
1.110

19.

Вторая улучшенная формула Эйлера
x2* x1 h 0.1 0.1 0.2
y2* y1 hf ( x1 , y1 )
1.110 0.1 (0.9 0.2 1.110) 1.239
x2 x1 h 0.1 0.1 0.2
f ( x1 , y1 ) f ( x2* , y2* )
y2 y1 h
2
(0.9 0.1 1.110) (0.9 0.2 1.239)
1.110 0.1
1.241
2

20.

Формула Эйлера-1УФЭ-2УФЭ
x
ФЭ 1УФЭ 2УФЭ
y
y
y
0.0
1.000 1.000 1.000
0.1
1.100 1.110 1.110
0.2
1.219
1.240
1.241

21.

Обобщенная формула Рунге-Кутта
k1 hf ( xi , yi )
k2 hf ( xi 2 h, yi 21k1 )
k s hf ( xi s h, yi s1k1
xi 1 xi h
s
yi 1 yi m km
m 1

22.

Формула Рунге-Кутта 4-го порядка
k1 hf ( xi , yi )
k1
h
k2 hf ( xi , yi )
2
2
k2
h
k3 hf ( xi , yi )
2
2
k4 hf ( xi h, yi k3 )
xi 1 xi h
k1 2(k2 k3 ) k4
yi 1 yi
6

23.

k1 hf ( x0 , y0 ) 0.1 (0.9 0 1) 0.1
h
k1
0.1
0.1
k2 hf ( x0 , y0 ) 0.1 (0.9 (0
) (1
) 0.110
2
2
2
2
h
k2
0.1
0.11
k3 hf ( x0 , y0 ) 0.1 (0.9 (0
) (1
) 0.110
2
2
2
2
k4 hf ( x0 h, y0 k3 ) 0.1 (0.9 (0 0.1) (1 0.110) 0.120
x1 x0 h 0 0.1 0.1
k1 2(k2 k3 ) k4
y1 y0
6
0.1 2(0.110 0.110) 0.12
1
1.110
6

24.

k1 hf ( x1 , y1 ) 0.1 (0.9 0.1 1.11) 0.120
h
k1
k2 hf ( x1 , y1 )
2
2
0.1
0.12
0.1 (0.9 (0.1
) (1.11
) 0.130
2
2
h
k2
k3 hf ( x1 , y1 )
2
2
0.1
0.13
0.1 (0.9 (0.1
) (1.11
) 0.131
2
2
k4 hf ( x1 h, y1 k3 ) 0.1 (0.9 (0.1 0.1) (1 0.131) 0.142
x2 x1 h 0 0.1 0.1
k1 2(k2 k3 ) k4
y2 y1
6
0.12 2(0.130 0.131) 0.142
1.11
1.241
6

25.

Формула Эйлера-1УФЭ-2УФЭ-формула
Рунге-Кутта
ФЭ 1УФЭ 2УФЭ
y
y
y
ФРК
0.0
1.000 1.000 1.000
1.000
0.1
1.100 1.110 1.110 1.110
0.2
1.219
x
1.239 1.241
y
1.241

26.

Выбор шага интегрирования в формуле
Рунге-Кутта 4-го порядка
i
k2
i
k1
i
k3
i
k4
0.01 0.03