Численные методы решения дифференциальных уравнений
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Численные методы решения дифференциальных уравнений
Виды задач для ОДУ
Методы решения ОДУ
Особенности численных методов решения ОДУ
Хорошо обусловленные задачи
Метод (формула) Эйлера
Формула Эйлера
Формула Эйлера
Формула Эйлера
Первая улучшенная формула Эйлера
Первая улучшенная формула Эйлера
Первая улучшенная формула Эйлера
Первая улучшенная формула Эйлера
Формула Эйлера-1УФЭ
Вторая улучшенная формула Эйлера
Вторая улучшенная формула Эйлера
Вторая улучшенная формула Эйлера
Формула Эйлера-1УФЭ-2УФЭ
Обобщенная формула Рунге-Кутта
Формула Рунге-Кутта 4-го порядка
Выбор шага интегрирования в формуле Рунге-Кутта 4-го порядка
305.60K
Категория: МатематикаМатематика

Численные методы решения дифференциальных уравнений

1. Численные методы решения дифференциальных уравнений

dy
y ' y ( n ) f ( x, y )
dx
dny
(n)
(1)
(2)
y
f
(
x
,
y
,
y
,
y
,
n
dx
, y ( n 1) )

2. Численные методы решения дифференциальных уравнений

dny
(n)
(1)
(2)
y
f
(
x
,
y
,
y
,
y
,
n
dx
, y ( n 1) )
y1 y
dy1
y
2
dx
dy2 y3
dx
dyn f ( x, y , y , y ,
1 2
dx
, yn )

3. Численные методы решения дифференциальных уравнений

y1
f1
y
f
Y 2
F 2
y
f
n
n
dY
F ( x,Y ( x ))
dx
Y Y ( x, C )
c1
c
C 2
c
n

4. Виды задач для ОДУ

• Задача Коши
• Краевая задача
• Задача на собственные значения

5. Методы решения ОДУ


Аналитические методы
Графические методы
Приближенные методы
Численные методы

6. Особенности численных методов решения ОДУ

dY
F ( x,Y ( x ))
dx
x [ x0 ; xn ]

7. Хорошо обусловленные задачи

dy
y x
dx
0 x 100
y ( x0 ) 1
y ( x, c ) 1 x ce
x
y (0) 1
c 0
y (100) 101
y (0) 1.000001
c 10 6
y (100) 2.7 1037

8. Метод (формула) Эйлера

dy
f ( x, y )
dx
x [ x0 ; xn ]
y ( x0 ) y0
xn x0
h
n
xi 1 xi h
yi 1 yi hf ( xi , yi )

9. Формула Эйлера

10. Формула Эйлера

dy
0.9 x y
dx
x [0;0.2] h 0.1
y (0) 1
x0 0
y0 1
x1 x0 h 0 0.1 0.1
y1 y0 hf ( x0 , y0 ) 1 0.1 (0.9 0 1) 1.100
x2 x1 h 0.1 0.1 0.2
y2 y1 hf ( x1 , y1 ) 1.1 0.1 (0.9 0.1 1.1) 1.219

11. Формула Эйлера

x
ФЭ
y
0.0
1.000
0.1
1.100
0.2
1.219

12. Первая улучшенная формула Эйлера

13. Первая улучшенная формула Эйлера

x [ x0 ; xn ]
промежуточная точка
xi 1/2 xi h / 2
yi 1/2
h
yi f ( xi , yi )
2
xi 1 xi h
yi 1 yi hf ( xi 1/2 , yi 1/2 )

14. Первая улучшенная формула Эйлера

dy
0.9 x y
dx
x [0;0.2] h 0.1
y (0) 1
x0 0
y0 1
h
0.1
x0 1/2 x0 0
0.05
2
2
h
0.1
y0 1/2 y0 f ( x0 , y0 ) 1
(0.9 0 1) 1.050
2
2
x1 x0 h 0 0.1 0.1
y1 y0 hf ( x0 1/2 , y0 1/2 ) 1 0.1 (0.9 0.05 1.050) 1.110

15. Первая улучшенная формула Эйлера

h
0.1
x1 1/2 x1 0.1
0.15
2
2
h
y1 1/2 y1 f ( x1 , y1 )
2
0.1
1.110
(0.9 0.1 1.110) 1.170
2
x2 x1 h 0.1 0.1 0.2
y2 y1 hf ( x1 1/2 , y1 1/2 )
1.110 0.1 (0.9 0.15 1.170) 1.240

16. Формула Эйлера-1УФЭ

x
ФЭ 1УФЭ
y
y
0.0
1.000 1.000
0.1
1.100 1.110
0.2
1.219
1.240

17. Вторая улучшенная формула Эйлера

x [ x0 ; xn ]
промежуточная точка
xi* xi h
yi* yi hf ( xi , yi )
xi 1 xi h
f ( xi , yi ) f ( xi* 1 , yi* 1 )
yi 1 yi h
2

18. Вторая улучшенная формула Эйлера

dy
0.9 x y
dx
y (0) 1
x0 0
x [0;0.2] h 0.1
y0 1
x1 x0 h 0 0.1 0.1
*
y1* y0 hf ( x0 , y0 ) 1 0.1 (0.9 0 1) 1.100
x0 x0 h 0 0.1 0.1
f ( x0 , y0 ) f ( x1* , y1* )
y1 y0 h
2
(0.9 0 1) (0.9 0.1 1.1)
1 0.1
1.110

19. Вторая улучшенная формула Эйлера

x2* x1 h 0.1 0.1 0.2
y2* y1 hf ( x1 , y1 )
1.110 0.1 (0.9 0.2 1.110) 1.239
x2 x1 h 0.1 0.1 0.2
f ( x1 , y1 ) f ( x2* , y2* )
y2 y1 h
2
(0.9 0.1 1.110) (0.9 0.2 1.239)
1.110 0.1
1.241
2

20. Формула Эйлера-1УФЭ-2УФЭ

x
ФЭ 1УФЭ 2УФЭ
y
y
y
0.0
1.000 1.000 1.000
0.1
1.100 1.110 1.110
0.2
1.219
1.240
1.241

21. Обобщенная формула Рунге-Кутта

k1 hf ( xi , yi )
k2 hf ( xi 2 h, yi 21k1 )
k s hf ( xi s h, yi s1k1
xi 1 xi h
s
yi 1 yi m km
m 1

22. Формула Рунге-Кутта 4-го порядка

k1 hf ( xi , yi )
k1
h
k2 hf ( xi , yi )
2
2
k2
h
k3 hf ( xi , yi )
2
2
k4 hf ( xi h, yi k3 )
xi 1 xi h
k1 2(k2 k3 ) k4
yi 1 yi
6

23.

k1 hf ( x0 , y0 ) 0.1 (0.9 0 1) 0.1
h
k1
0.1
0.1
k2 hf ( x0 , y0 ) 0.1 (0.9 (0
) (1
) 0.110
2
2
2
2
h
k2
0.1
0.11
k3 hf ( x0 , y0 ) 0.1 (0.9 (0
) (1
) 0.110
2
2
2
2
k4 hf ( x0 h, y0 k3 ) 0.1 (0.9 (0 0.1) (1 0.110) 0.120
x1 x0 h 0 0.1 0.1
k1 2(k2 k3 ) k4
y1 y0
6
0.1 2(0.110 0.110) 0.12
1
1.110
6

24.

k1 hf ( x1 , y1 ) 0.1 (0.9 0.1 1.11) 0.120
h
k1
k2 hf ( x1 , y1 )
2
2
0.1
0.12
0.1 (0.9 (0.1
) (1.11
) 0.130
2
2
h
k2
k3 hf ( x1 , y1 )
2
2
0.1
0.13
0.1 (0.9 (0.1
) (1.11
) 0.131
2
2
k4 hf ( x1 h, y1 k3 ) 0.1 (0.9 (0.1 0.1) (1 0.131) 0.142
x2 x1 h 0 0.1 0.1
k1 2(k2 k3 ) k4
y2 y1
6
0.12 2(0.130 0.131) 0.142
1.11
1.241
6

25.

Формула Эйлера-1УФЭ-2УФЭ-формула
Рунге-Кутта
ФЭ 1УФЭ 2УФЭ
y
y
y
ФРК
0.0
1.000 1.000 1.000
1.000
0.1
1.100 1.110 1.110 1.110
0.2
1.219
x
1.239 1.241
y
1.241

26. Выбор шага интегрирования в формуле Рунге-Кутта 4-го порядка

i
k2
i
k1
i
k3
i
k4
0.01 0.03
English     Русский Правила