Функция. Предел функции. (часть 1)

1.

Функция. Предел
функции.
(часть 1)
Введение в математический анализ

2.

План вебинара
1. Разбор ДЗ – ключевые моменты.
2. Функция и отображения.
3. Вычисление пределов:
+ рациональных функций;
+ пределы, сводящиеся к 1-му
замечательному пределу (часть 1).
2

3.

Задача 2 (1)
• Исходное (ложь; sgn(0)=0):
• Отрицание (истина):
3

4.

(2)
• Исходное (-; теорема Ферма):
• Отрицание (+):
4

5.

(3)
• Исходное (+):
• Отрицание:
5

6.

(4)
• Исходное(-):
• Отрицание(+):
6

7.

(5)
• Исходное (sin(pi/2)=1 - максимальное
значение синуса; ложь):
• Отрицание (+):
7

8.

(5)
8

9.

(6)
• Исходное (+):
• Отрицание:
Принадлежность множеству не меняется.
ε в обоих случаях положительно.
9

10.

(7)
• Исходное (+):
• Отрицание:
10

11.

Множества, №1

12.

Формула Стирлинга
(к следующему дз)
12

13.

ГРАФИК – для иллюстрации
Число е:
https://ru.wikipedia.org/wiki/E_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)
13

14.

Полезные формулы
(напоминание)
ax 2 + bx+ c = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
• x1, x2 – корни уравнения ax 2 + bx+ c = 0
• Формулы сокращённого умножения:
14

15.

15

16.

Функция – это соответствие между
элементами двух множеств, установленное по
такому правилу, что каждому элементу
первого множества соответствует один и
только один элемент второго множества.

17.

Виды отображений: сюрьекция
Отображение называется
сюръекцией, если каждый элемент
множества Y является образом хотя
бы одного элемента множества X.
17

18.

Виды отображений: инъекция
Отображение называется
инъекцией, если разные элементы
множества Х переводятся в разные
элементы множества Y
18

19.

Виды отображений: биекция
сюрьекция+инъекция
Биекция – это отображение,
которое является одновременно и
сюръективным, и инъективным
19

20.

20

21.

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
1) Область определения — множество, на
котором задаётся функция.
2) Область значения — множество,
состоящее из всех значений, которые
принимает функция.
3) Нули функции: f(x)=0
кратность нулей: (x-1)**2 (x-3) = 0
x=1 - корень кратности 2
x=3 - корень кратности 1
21

22.

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
4) Отрезки знакопостоянства: f(x)>0; f(x)<0.
5) Чётность функции:
f(-x) = f(x) – чётная функция, симметрия
относительно оси y (y=x**2);
f(-x) = -f(x) – нечётная функция, симметрия
относительно начала координат (y=x**3);
Иначе – функция общего вида.
22

23.

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
23

24.

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
24

25.

Исследование функции
в программе лучше начинать с построения графика
6) Ограниченность функции: есть ли
максимальное и минимальное значения
функции на множестве.
(https://foxford.ru/wiki/matematika/ograniche
nnye-funktsii)
7) Периодичность функции: f(x+T)=F(x)
8*) Монотонность функции (нужны
производные или график)
25

26.

Нахождение предела функции:
начало
1) Подставляем в функцию значение, к
которому стремится «икс»;
2) Устанавливаем вид неопределённости.
26

27.

27

28.

Разделить на «икс в старшей степени»
28

29.

Разделить на «икс в старшей степени»
29

30.

30

31.

31

32.

Разложить на множители
32

33.

Разложить на множители
ax^2+bx+c=0
x1, x2 – корни,
Тогда ax^2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
33

34.

34

35.

Разделить на «икс в старшей степени»
35

36.

36

37.

37

38.

Разложить на множители
ax 2 + bx+ c = a ( x – x1 ) ( x – x2 )
Поделить столбиком
38

39.

39

40.

40

41.

41

42.

42

43.

43

44.

44

45.

45

46.

Умножить на сопряжённый множитель
46

47.

47

48.

48

49.

49

50.

50

51.

51

52.

52

53.

53

54.

54

55.

55

56.

56

57.

57

58.

58

59.

59

60.

60

61.

61

62.

62

63.

Эквивалентности в пределах
63

64.

Продолжение следует…
64

65.

Спасибо!
65