Лекция 5-6
Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции
Поступательная сила инерции
Поступательная сила инерции Fпси = - ma0.
Основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчёта*
Особенности сил инерции
Неинерциальность систем отсчета
Уравнения гармонических колебаний
Комплексные числа
Представление колебаний в виде комплексных диаграмм
Пружинный маятник
Пружинный маятник
Энергия пружинного маятника
Другой метод решение уравнения
Математический маятник
Изохронный маятник
Физический маятник
Приведенная длина физического маятника
Оборотный маятник
Малые колебания около положения равновесия
Затухающий гармонический осциллятор
Затухающий гармонический осциллятор
Случай сильного затухания
Масштабирование физического маятника
Вынужденные колебания
Вынужденные колебания
Резонанс
Добротность
Резонанс и аварии
Сложение колебаний одинаковой частоты
Сложение колебаний разной частоты. Биения
Волны
Продольные волны
Поперечные волны
Поперечные волны
Волновое уравнение для системы пружинок
Уравнение плоской волны
Уравнение бегущей волны
Стоячие волны
Спасибо за внимание
2.99M
Категория: ФизикаФизика

Неинерциальные системы отсчета. Колебания и волны

1. Лекция 5-6

Неинерциальные системы отсчета
Колебания и волны

2. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции

Для ИСО: a = aотн
Как «подправить» уравнение динамики в НСО? maотн = F +
Fин
Для НСО: a = aотн + a*
ma = maотн + ma*
maотн = ma + (-ma*) = F + Fин
Fин = -ma*
Сила инерции Fин = -ma* зависит от:
1.
2.
параметров НСО
положения и скорости частицы

3. Поступательная сила инерции

F = - ma0
В ускоряющейся ракете на все тела действует сила инерции F =
- ma0 - возникает однородное силовое поле, эквивалентное
однородному полю тяжести.
Принцип эквивалентности:
Никакими физическими опытами невозможно отличить
однородное поле тяготения от однородного поля сил
инерции.
Состояние невесомости при свободном падении в однородном
поле тяжести эквивалентно движению в свободном
пространстве: силу тяжести компенсирует сила инерции.

4. Поступательная сила инерции Fпси = - ma0.

Вес тела в лифте;
Невесомость – проявление силы инерции: сила тяжести
уравновешивается силой инерции!
0 N maин mg

5. Основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчёта*

Если система перемещается поступательно с ускорением a0 и
вращается с постоянной угловой скоростью ω, то:
ma′ = F – ma0 + mω2r + 2m[v′ ω]
F – реальная сила
Fпси = m (- a0) – поступательная сила инерции
Fцб = mω2r – центробежная сила инерции
Fкор = 2m[vотнω] – сила Кориолиса.
Сила Кориолиса перпендикулярна скорости не производит
работы!

6. Особенности сил инерции

Силы инерции существуют только в НСО
Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а
свойствами НСО. Третий закон Ньютона для сил инерции
не работает.
Все силы инерции пропорциональны массе тела (подобно
силам тяготения)

7. Неинерциальность систем отсчета

Ускорения из-за вращения
земли вокруг оси
an Rземля сут 2 ~ 0.032 m / c 2
2
2
7.3*10 5 с 1
T
24*3600
Rземля 6500км
Ускорения из-за вращения земли
вокруг солнца
an Rорб год 2
сут
Rорб 150 млн.км
Ускорения из вращения нашей
галактики
0.000001 m / c 2
~ 0.0055 m / c 2

8. Уравнения гармонических колебаний

x A0 cos( t 0 ) - уравнение гармонических колебаний
A0
-амплитуда
( t 0 )
-фаза колебания
0 - начальная фаза
- циклическая частота
t -время
2
T
- период колебаний
2
- частота колебаний

9. Комплексные числа

z x iy (i 2 1)
Re(z)=x Im(z)=y
y
z e ( x y ; tan( ) )
x
i
2
2
z* x iy
Re(z)=1/2(z+z* )
z z1 z2 1 2 ei ( 1 2 )
z1 1ei 1 ; z2 2ei 2
Формула Эйлера:
i
e cos i sin
i
2
e i
i
e 1

10. Представление колебаний в виде комплексных диаграмм

11. Пружинный маятник

ma Mg N Fупр
mx kx
x x 0
2
Решение ищем в виде:
e t ( 2 2 ) 0
k
m
x e
t
x 2 e t
i Общее решение: x C1e i C2e i
Условие действительности х: C1 C2*
Решение:
A0 i 0
e
2
A0 i ( t 0 ) A0 i ( t 0 )
x
e
e
A0 cos( t 0 )
2
2

12. Пружинный маятник

ma Mg N Fупр
mx kx
x x 0
2
Решение ищем в виде:
e t ( 2 2 ) 0
k
m
x e
t
x 2 e t
i Общее решение: x C1e i C2e i
Условие действительности х: C1 C2*
Решение:
A0 i 0
e
2
A0 i ( t 0 ) A0 i ( t 0 )
x
e
e
A0 cos( t 0 )
2
2

13. Энергия пружинного маятника

mx 2 kx 2
E
2
2
mx 2 m 2 x 2
E
2
2
A A0 cos( t 0 )
m 2 A0 2
(sin 2 ( t 0 ) cos 2 ( t 0 )) E
2
Из уравнения движения:
m d
k d
( x) 2
( x) 2 0
2 dt
2 dt
mx kx x
интегрируем
mx 2 kx 2
E
2
2

14. Другой метод решение уравнения

mx 2 kx 2
E
2
2
2E
x
2 x 2
m
2
dx
2E
2 x 2
m
acrsin(
dt
x
) t C
2E
2 m
dx
2E
2 x 2
dt
m
dx
dt
2E
2
x
2 m
x A0 cos( t 0 )

15. Математический маятник

ma mg N
Из закона сохранения
энергии:
d
dt
ml 2 2
(1 cos( ))mlg E
2
ml 2 sin( )mlg 0
sin( ) 2 0
1
0,
2
g
l
0 cos( t 0 )

16. Изохронный маятник

sin( ) 2 0
javascript:void();

17. Физический маятник

Физический маятник — это твердое тело,
совершающее под действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси
Действующие силы:
mg , N
Уравнение динамики вращательного движения
относительно оси подвеса O :
J J M mg sin( )mgd
(1)
J
- Момент инерции относительно оси O
d
- Расстояние между осью O и центром масс С
1
2 0,
gmd
J
0 cos( t 0 )

18. Приведенная длина физического маятника

0,
2
J
L
md
gmd
J
-Приведенная длина
Если перевесить маятник в точку O’, то
частота колебаний не измениться:
По теореме Штейнера:
J c md 2
Jc
L
d
md
md
J C ( L d )2 m
L
m( L d )
L d
JC
L
md

19. Оборотный маятник

L
T 2
g

20. Малые колебания около положения равновесия

Потенциал Леннарда-Джонса
U
0
r
12
0 13
r
12
-условие равновесия
6
7
r
6
r0 6 2
r 2
r 3
U (r0 r ) U (r0 ) U (r0 ) r U (r0 )
U (r0 )
2!
3!
U (r0 )
U (r0 ) 0
U (r0 )
72
r02
x r
Ряд Тейлора
mx 2 U x 2
E
2
2
U
m

21. Затухающий гармонический осциллятор

ma Fупр Fcопр
mx kx cx
Уравнения затухающих колебаний:
x 2 x 0 x 0
2
k
c
,
m
2m
0
Решение ищем в виде:
x e
e t ( 2 2 0 2 ) 0
Общее решение:
t
x e
t
1,2 i 02 2
x C1e 1t C2e 2t
x e t (C1ei t C2e i t )
02 2
x 2 e t

22. Затухающий гармонический осциллятор

x e t (C1ei t C2e i t )
02 2
0 2 2
Условие действительности х: C1 C2*
A0 i 0
e
2
x A0 e t cos( t 0 )
Время затухания:
t зат
1
Логарифмический декремент
затухания : T

23. Случай сильного затухания

0
2
2
Что будет в этом случае?
02 2
t
x e (C1e
- Частота мнимая!
i t
C2 e
i t
)
Нет колебаний - только затухание.

24. Масштабирование физического маятника

Что будет, если увеличить маятник в α раз?
0
gmd
J
c
2m
2
1 2
0
0
m
3
J
5
d
c
0
1
2
~ 2
2 3
1 2 3
1 2 1
2
0
0
2 0

25. Вынужденные колебания

ma Fупр Fcопр F (t )
F0
x 2 x 0 x exp(i t )
m
Общее решение = общее решение однородного
k
c
0
,
m
2m
уравнения + частное решение неоднородного
2
t / 1
Ae
Решение ищем в виде: x
i t
x i Ae
F0
exp(i t ) A( i 2 0 ) exp(i t )
m
2
2
i t
x 2 Aei t

26. Вынужденные колебания

F0
A( 0 i 2 )
m
2
2
F0
A (( 0 ) 4 )
m
2
2 2
2
2
A A0 ei
F0
A0
m
1
(( 0 2 2 )2 4 2 2 )
2
tan 2 2
0

27. Резонанс

F0
A0
m
1
(( 0 2 2 )2 4 2 2 )
tan
2
2 0 2
res 02 2 2
Добротность:
0
Q
2

28. Добротность

Запасы энергии в системе
Q
Потери энергии за 1 радиан фазы
0
Из резонансной кривой: Q
При масштабировании :
0 1/2
1.5
Q
~
2 2

29. Резонанс и аварии

30. Сложение колебаний одинаковой частоты

A1 exp(i t 1 ) A2 exp(i t 2 )
A exp(i t ) A1 exp(i t 1 ) A2 exp(i t 2 )
A2 A12 A2 2 2 A1 A2 cos( 1 2 )
Из теоремы косинусов

31. Сложение колебаний разной частоты. Биения

A exp(i 1t ) A exp(i 2t )
A exp(i
( 1 2 )
( 2 )
( 1 )
t )(exp(i 1
t ) exp(i 2
t ))
2
2
2
2 A exp(i
( 1 2 )
( 2 )
t ) cos( 1
t)
2
2
1 2 1
2 A exp(i t ) cos(
t)
2

32. Волны

Волна распространение колебаний в пространстве
Волновая поверхность - геометрическое место точек с одинаковой фазой.
Фронт волны - геометрическое место точек, до которых распространилась волна
в фиксированный момент времени.
Луч - линия перпендикулярная фронту и совпадающая с направлением скорости
распространения.
(Обычно луч проводят от источника до точки наблюдения)

33. Продольные волны

Продольная волна – это волна, в которой
колебания происходят вдоль направления
распространения волны.
Механические продольные волны могут
распространяться в газах, жидкостях и твердых
телах.
.

34. Поперечные волны

Поперечная волна – это волна, в которой
колебания происходят перпендикулярно
направлению распространения волны.
Механические поперечные волны могут
распространяться в твердых телах и на границе
двух сред.

35. Поперечные волны

Электромагнитные
волны
Гравитационные
волны

36. Волновое уравнение для системы пружинок

(Рассмотрим бесконечную цепь – одинаковые пружинки
жесткостью- k, одинаковые массы – m, на расстоянии - а друг от
друга, x – смешение относительно положения равновесия )
mxi 2kxi kxi 1 kxi 1
m i 2k i k i 1 k i 1
a 2k
i
(( i 1 i ) ( i i 1 ))
2
ma
i
a k ( i 1 i ) ( i i 1 )
(
)
ma
a
a
2
Уравнение движения mассы - i
Уравнение движения mассы – i в другом виде
Еще раз перепишем, где а – расстояние между
массами m
a 2 k i 1/2 i 1/2
i
(
)
ma
x
x

37.

a 2 k ( i 1 i ) ( i i 1 )
i
(
)
ma
a
a
i 1/2
x
i 1/2
x
i 1/2 i 1/2
)
a k
x )
i
( x
m
a
2
Таким образом мы заменили разность
производными один раз.
a 2 k i 1/2 i 1/2
i
(
)
ma
x
x
(
И аналогично, заменяя разность
производной еще раз:
a 2 k 2 i
i
( 2)
m x
Выводы:
A)Это волновое уравнение.
B)Его получение математически корректно, когда разность смешений мало отличается от
производной, т.е. в гладком случае достаточно длинных волн.

38. Уравнение плоской волны

2
2
2
c
t
x 2
a2k
c
m
Скорость волны
Возможные решения:
2
A exp(i ( t
x))
A exp(i ( t
-Длина волны расстояние
между соседними точками
одинаковой фазы
2
x))

39. Уравнение бегущей волны

A exp(i ( t kx))
( t kx)
v
k
k
2
Волновое число
Фаза волны
Фазовая скорость - скорость распространения
определенной фазы колебаний.

40. Стоячие волны

A exp(i ( t kx)) A exp(i ( t kx))
A exp(i ( t kx)) A exp(i ( t kx)) A exp(i t )(exp( ikx) exp(ikx))
Уравнение стоячей волны
2
2 A exp(i t ) cos( x)
2 A exp(i t ) cos(kx)
Пучности:
Узлы:
2
x m
2
1
x ( m )
2

41. Спасибо за внимание

English     Русский Правила