Виды колебаний
1. Математический маятник
Вывод уравнения колебания
Вывод уравнения колебания
Дифференциальное уравнение колебаний
Период колебаний
Решение дифференциального уравнения:
2. Пружинный маятник
2. Пружинный маятник
Дифференциальное уравнение
Решение дифференциального уравнения
3. Скорость колеблющейся точки
Ускорение колеблющейся точки
Графики колебаний х(t), υ(t), a(t)
Возвращающая сила
Энергия колеблющейся точки
Энергия колеблющейся точки
Энергия
Полная энергия
Зависимость энергии от времени
3. Физический маятник
4. Физический маятник
Вывод уравнения для физического маятника
Дифференциальное уравнение
Частота, период, приведенная длина
Приведенная длина физического маятника
Вывод:
4. Колебательный контур
5. Колебательный контур
5. Колебательный контур
5. Колебательный контур
5. Колебательный контур
5. Колебательный контур
По второму правилу Кирхгофа
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний
Период колебаний
Решение дифференциального уравнения
Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе
Энергия электрического и магнитного полей
Полная энергия
Зависимость энергии от времени
6. Гармонический осциллятор
2.61M
Категория: ФизикаФизика

Гармонический осциллятор

1.

Динамика поступательного
Федеральное
агентстводвижения
по образованию
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт цветных металлов и золота
Авторы: доценты кафедры физики, к.ф-м.н. Вершинина Н.И.,
к.т.н. Машукова А.Е.
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ
по курсу физики
Тема: Гармонический осциллятор
Тема: Гармонический осциллятор
27.11.18

2.

Динамика поступательного движения
Содержание
5. Колебания
Колебания
5.
5.1. Механические
Механические
5.1.
5.2.Электромагнитные
Электромагнитные
5.2.
Тема: Гармонический27.11.18
осциллятор
2

3.

Динамика поступательного движения
Содержание
Введение. Виды колебаний
1. Математический маятник
2. Пружинный маятник
3. Скорость, ускорение, энергия
колеблющейся точки
4. Физический маятник
5. Колебательный контур
6. Гармонический осциллятор
Тема: Гармонический27.11.18
осциллятор
3

4. Виды колебаний

Динамика поступательного
движения
Введение
Виды колебаний
Всякий периодически повторяющийся во
времени процесс называется КОЛЕБАНИЕМ.
Колебания
Механическ
ие
Электромагн
ит-ные
Свободные незатухающие
Затухающие
Вынужденные
4
Тема: Гармонический осциллятор

5. 1. Математический маятник

Динамика
поступательного движения
Математический
маятник
1. Математический маятник
Тема: Гармонический осциллятор

6. Вывод уравнения колебания

Динамика
поступательного движения
Математический
маятник
Вывод уравнения колебания

Т
x
mg
Fв- возвращающая сила
FB mg sin
x
sinα
- смещение точки от положения
равновесия
Тема: Гармонический осциллятор

7. Вывод уравнения колебания

Динамика
поступательного движения
Математический
маятник
Вывод уравнения колебания
FB mg x ma

Т
x
mg
g
a x 0
2
d x
2
dt
ω
2
0
Тема: Гармонический осциллятор

8. Дифференциальное уравнение колебаний

Динамика
поступательного движения
Математический
маятник
Дифференциальное уравнение
колебаний
22
d x
22
ω
x
0
00
22
dt
(1)
Тема: Гармонический осциллятор

9. Период колебаний

Динамика
поступательного движения
Математический
маятник
Период колебаний

T 2 π
g
ω0
Тема: Гармонический осциллятор

10. Решение дифференциального уравнения:

Динамика
поступательного движения
Математический
маятник
2. Пружинный маятник
0
Тема: Гармонический осциллятор
x

11. 2. Пружинный маятник

ДинамикаПружинный
поступательного движения
маятник
2. Пружинный маятник
0
x
F= ma = -kx
2
d x k x 0
2
2
dt
m
0
Тема: Гармонический осциллятор

12. 2. Пружинный маятник

ДинамикаПружинный
поступательного движения
маятник
Дифференциальное уравнение
k 2
0
m
d 2 x 2 x 0
0
2
dt
Период
колебаний
(2)
m
T 2
k
Тема: Гармонический осциллятор

13. Дифференциальное уравнение

ДинамикаПружинный
поступательного движения
маятник
Решение дифференциального
уравнения
x A sin( ω 0 t α );
Для (1)
и (2)
или
x A cos( ω 0 t α 0 )
А - амплитуда
смещения
0 90
ВОЗЬМЕМ 2-е УРАВНЕНИЕ И НАЙДЕМ
СКОРОСТЬ, УСКОРЕНИЕ И
ВОЗВРАЩАЮЩУЮ СИЛУ
Тема: Гармонический осциллятор
0

14. Решение дифференциального уравнения

3. Скорость
колеблющейся
Скорость, ускорение, энергия точки
точки
Динамика поступательного движения
dx
υ A 0 sin( 0 t 0 )
dt
υmax–
АМПЛИТУДА СКОРОСТИ
Амплитуда – это
максимальное значение
колеблющегося параметра
Тема: Гармонический осциллятор

15. 3. Скорость колеблющейся точки

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
Ускорение колеблющейся точки

2
a A 0 cos( 0 t 0 )
dt
а – амплитуда ускорения
max
Тема: Гармонический осциллятор

16. Ускорение колеблющейся точки

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
Графики колебаний х(t), υ(t),
a(t)
x
17
a
T
Тема: Гармонический осциллятор
t
Ле к ц и я №

17. Графики колебаний х(t), υ(t), a(t)

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
Возвращающая сила
2
0
F ma m A cos( 0 t 0 )
Fmax –
амплитуда силы
Тема: Гармонический осциллятор

18. Возвращающая сила

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
Энергия колеблющейся точки
потенциальная
2
2
0
2
mω x
kx
Wп
2
2
1
2 2
2
m ω 0 A сos (ω 0 t α 0 )
2
Тема: Гармонический осциллятор

19. Энергия колеблющейся точки

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
Энергия колеблющейся точки
кинетическая
2


2
1
2
2
2
mA ω 0 sin (ω 0 t α 0 )
2
Тема: Гармонический осциллятор

20. Энергия колеблющейся точки

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
Полная энергия
2
0
mω A
W Wк Wп
2
W Wк ,max Wп ,max
Тема: Гармонический осциллятор
2

21. Энергия

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
W
Wp
Зависимость энергии от
времени

0
23
T
Тема: Гармонический осциллятор
t
Ле к ц и я №

22. Полная энергия

Динамика
поступательного движения
Математический
маятник
3. Физический маятник
О
С
Тема: Гармонический осциллятор

23. Зависимость энергии от времени

Динамика поступательного
движения
Скорость,
ускорение,
энергия точки
4. Физический маятник
Это любое тело, совершающее
колебания.
О – точка подвеса,
О
С - центр масс
Длина физического
маятника – это
расстояние от точки
подвеса до центра масс!
OC M
25
Тема: Гармонический осциллятор
С

24. 3. Физический маятник

Вывод уравнения для
физического маятника
Динамика
поступательного движения
Физический
маятник
О
Согласно основному уравнению
динамики вращательного движения
I 0 M mgd
mg M sin α
M
d
С
mg
2
d α
ε 2
dt
При малых
углах
Тема: Гармонический осциллятор
sin

25. 4. Физический маятник

Динамика
поступательного движения
Физический
маятник
Дифференциальное уравнение
2
2
d
mg MM
d mg
0
0
2
2
dt
II00
dt
или
22
d α
22
ω
α
0
00
22
dt
Тема: Гармонический осциллятор

26. Вывод уравнения для физического маятника

Динамика
поступательного движения
Физический
маятник
Частота, период, приведенная
длина
mg M
0
I0
Приведенная
длина
физического
маятника – это
длина
математического
маятника с таким
же периодом
I0
T 2π
m M g
I0
пр
m M
Тема: Гармонический осциллятор

27. Дифференциальное уравнение

Динамика
поступательного движения
Физический
маятник
Приведенная длина
физического маятника
По теореме
Штейнера
2
I 0 I c m M
Ic
пр
M M
m M
Приведенная длина всегда больше
длины физического маятника
Тема: Гармонический осциллятор

28. Частота, период, приведенная длина

Вывод:
Динамика
поступательного движения
Физический
маятник
1. Дифференциальные
уравнения и их решения имеют
одинаковый вид для всех
маятников:
2
2
d x
d x
2
2
x
0
x
0
0
0
2
2
dt
dt
22
dd αα
22
ω
α
0
ω
α
0
00
22
dt
dt
2.
Циклическая
частота (и
период)
зависит от
параметров
колебательн
ой системы
Тема: Гармонический осциллятор

29. Приведенная длина физического маятника

Динамика
поступательного движения
Колебательный
контур
4. Колебательный контур
Тема: Гармонический осциллятор

30. Вывод:

5. Колебательный контур
Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
LC - контур
H
q,
1
2
3
4
5
Т
1. t = 0
Еmax, qmax, I = 0, H
= 0.
2. t = T/
4
Е = 0, q = 0, Imax,
Hmax
3. t = T/
2
Еmax, -qmax, I = 0, H
= 0.
4. t =
3T/4
Е = 0, q = 0, Imax,
Hmax
5. t =
Т
Еmax, qmax, I = 0, H
= 0.
t
Тема: Гармонический осциллятор

31. 4. Колебательный контур

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
По второму правилу Кирхгофа
Напряжение на
конденсаторе
ЭДС
самоиндукции
U c q / C ;
U c c ;
dI
s L
dt
q / C L dI
Тема: Гармонический осциллятор
dt

32. 5. Колебательный контур

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
Дифференциальное уравнение
2
d q
1
q
0
2
LC
dt
ω0
2
1
ω0
LC
Тема: Гармонический осциллятор

33. 5. Колебательный контур

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
Дифференциальное уравнение
свободных незатухающих
электромагнитных колебаний
2
d q
2
o q 0
2
dt
Тема: Гармонический осциллятор

34. 5. Колебательный контур

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
Период колебаний
T 2 LC
Формула Томсона-Кельвина
Тема: Гармонический осциллятор

35. 5. Колебательный контур

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
Решение дифференциального
уравнения
q qm cos( 0 t 0 )
- амплитуда заряда
Уравнение колебаний силы тока
I qm ω 0 sin( ω 0 t α 0 )
Im
- амплитуда тока
Тема: Гармонический осциллятор

36. 5. Колебательный контур

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
Уравнение колебаний
напряжения на конденсаторе
qm
U C cos( 0 t 0 )
C
- амплитуда
напряжения на
конденсаторе
Тема: Гармонический осциллятор

37. По второму правилу Кирхгофа

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
Энергия электрического и
магнитного полей
2
q
LI
WE ; WM
2C
2
2
Когда одна из энергий максимальна,
другая равна нулю – происходит
переход энергии электрического поля
в энергию магнитного и наоборот.
Тема: Гармонический осциллятор

38. Дифференциальное уравнение

Динамика
поступательного движения
Электромагнитные
колебания
Полная энергия
W W E W M
22
m
m
22
m
m
q
LI
W
2C
2
Полная энергия остается
постоянной во времени (LC контур – идеальный)
Тема: Гармонический осциллятор

39. Дифференциальное уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний

Динамика
поступательного движения
Колебательный
контур
W
WE
Зависимость энергии от
времени
WM
0
45
T
Тема: Гармонический осциллятор
t
Ле к ц и я №

40. Период колебаний

Динамика
поступательного движения
Гармонический
осциллятор
6. Гармонический осциллятор
Это система, совершающая
колебания, описываемые
уравнением вида
2
S
2
ω0 S 0
2
t
Тема: Гармонический осциллятор
(1)

41. Решение дифференциального уравнения

Динамика
поступательного движения
Гармонический
осциллятор
Примеры гармонического
осциллятора
1. Пружинный
маятник
2. Математический
маятник
3. Физический
маятник
4. Колебательный
контур
Тема: Гармонический осциллятор

42. Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе

Динамика
поступательного движения
Гармонический
осциллятор
Уравнение гармонического
осциллятора
S S m с os(ω0 t α 0 )
ил
иS
(2)
S m sin(ω0 t α )
S - колеблющийся параметр
(x, υ, a, q, I, Uc , B, H, E и т. д.);
Sm=A - амплитуда колебаний
Тема: Гармонический осциллятор

43. Энергия электрического и магнитного полей

Динамика
поступательного движения
Гармонический
осциллятор
График колебаний
S
T
Sm
t
0
S S m cos(ω o t α 0 ) ; α 0 0
Тема: Гармонический осциллятор

44. Полная энергия

Динамика
поступательного движения
Гармонический
осциллятор
Основные параметры
(ω 0 t α 0 )
- фаза
колебаний;
Ед. изм. -радианы или градусы
α 0 (α )
- начальная
фаза;
- собственная
ω 0 циклическая
2
частота колебаний,
т.е.
число колебаний
Ед. изм. 1/cза
секунд
Тема: Гармонический осциллятор

45. Зависимость энергии от времени

Динамика
поступательного движения
Гармонический
осциллятор
ν
Частота и период колебаний
- частота колебаний, изм.
в герцах (Гц).
ω 0 2πν
Т - период колебаний - время
полного колебания.
Измеряется в секундах.

1
T
ω0
ν
Тема: Гармонический осциллятор

46. 6. Гармонический осциллятор

Динамика
поступательного движения
Гармонический
осциллятор
Отсчет начальной фазы
По закону косинуса
000=0
π
== π/2
S
sss
(
ω
t
π
/
2)
sss00cos
cos
(
ω
t
π
)
cos
(
ω
t
0)
0
0
0
0
t
0
По закону синуса
=0
π/2
0
=
π
0=
0
52
s
sin

t )t π)
ss
ss00ssin
((ωω
0sin
00t 0 π / 2)
Тема: Гармонический осциллятор
Ле к ц и я №
English     Русский Правила