Корень n-й степени

1.

Корень n-й степени

2.

Квадратный корень
Определение. Квадратным корнем из числа а
называют число t, квадрат которого равен а.
t2 = a.
Числа 8 и -8 – квадратные корни из 64,
так как 82 = 64 и (-8)2 = 64.

3.

Корень n-й степени
Определение. Корнем n-й степени из числа а
называют число t, n-я степень которого равна а.
t n = a.
Числа 3 и -3 – корни 4-й степени из 81,
так как 34 = 81 и (-3)4 = 81.
Число -5 – корень 3-й степени из -125,
так как (-5)3 = -125.

4.

Арифметический корень
n-й степени
Определение. Неотрицательный корень n-й
степени из числа а называется
арифметическим корнем n-й степени из а.
2 – арифметический корень 4-й степени из числа 16,
т.к. 2 > 0 и 2 4 = 16.
-2 – не арифметический корень 4-й степени из числа
16.
т.к. 2 < 0.
Но 2 и -2 - корни 4-й степени из 16.
3 – арифметический корень 5-й степени из 243.

5.

Обозначение корня
1. Если n – нечетное число.
n
a
показатель
корня
корень n-й степени из числа а
(положительного, отрицательного или нуля).
подкоренное
выражение
Если а ≥0, то n a- арифметический корень n-й
степени из числа а.
3
7
арифметический корень
3-й степени из 7
5
- 12 5 12
корень5-й
степени из 12
арифметический корень
5-й степени из 12

6.

Обозначение корня
2. Если n – четное число.
n
a
показатель
корня
арифметический корень
n-й степени из числа а
подкоренное
выражение
При четном n выражение n a имеет смысл
только при а ≥0.
12
71 ,
15 ,
6
2.
- арифметические корни, а значит числа положительные.

7.

Корень n-й степени
Во множестве действительных чисел существует
единственный корень нечетной степени n из
любого числа а. ( n a ).
Во множестве действительных чисел существует
два корня четной степени n из любого
положительного числа а, их модули равны, а
знаки противоположны.

8.

Свойства корней n-й степени
Когда n – нечетное, то Когда n – четное, то при
при любом
любом положительном
значении а верно
значении а верно
равенство
равенство
a
n
92 92,
123 123, 123
7
7
7
7
7
7
n
a
19
4
123.
4
19,
12
23
12
123.

9.

Свойства корней n-й степени
Теорема.
Пусть n
- нечетное число.
Пусть n
- четное число.
Тогда при любом значении а верны равенства:
a n a,
- a n a
n
n
b 15 b 5
125 3 5 3 5
n
3
3
a | a |,
n
b 12 | b 3 |
16 4 2 4 | 2 | 2
4
4

10.

Свойства корней n-й степени
Теорема. Пусть n и k - натуральные числа. Тогда
при любом неотрицательном значении а верны
равенства:
nk
k
n
a
n k
a
a
nk
a
(При извлечении корня из корня подкоренное выражение
остается прежним, а показатели корней
перемножаются.)
Сравнить числа
6
2 3 6
6
2 3 и
3 4 12 12 ;
4
4
6
.2
2 4 3 2 3 12 8
2 3 4 2.
12
12 12 8 ;

11.

Свойства корней n-й степени
Теорема. Пусть k – целое число. Тогда при
любом положительном значении а верно
равенство:
k
a
n
Решить уравнение:
Решение.
6
x t,
Тогда
3
a
n
k
x 96 x 14 0
2
x x x t2
t 2 9t 14 0
t 1 2, t 2 7.
6
x 2 или 6 x 7
x 2 6 64 или х 7 6 117 649.
Ответ: 64; 117 649.
3
6
2
6

12.

Свойства корней n-й степени
Теорема.
Пусть n – нечетное число.
Тогда при любых значениях
а и b верно равенство
n
7
Пусть n – четное число.
Тогда при любых а ≥ 0 и b
≥ 0 верно равенство
a n b n ab
13 41 7 13 41 7 (13 41) (13 41 )
7 13 2 ( 41 ) 2 7 169 41 7 128 7 2 7 2.

13.

Свойства корней n-й степени
Теорема.
Пусть n – нечетное число.
Тогда при любых значениях
а и b ≠ 0 верно равенство
n
n
4
Пусть n – четное число.
Тогда при любых а ≥ 0 и
b > 0 верно равенство
a
a
n
b
b
256
44
4
4
8
2
x
x
4
4
44
x
2 4
4
4
2 2
|x | x

14.

Свойства корней n-й степени
Теорема.
Пусть n – нечетное число.
Тогда при любых значениях
а и b верно равенство
n
5
a nb an b
y 11 z 5 y 10 yz y 2 5 yz
Пусть n – четное число. Тогда
при любых значениях
а и b ≥ 0 верно равенство
n
a n b | a | n b
8
8 8
64n
2
n
4
4
12
12
x
x
2n 2 4 2
2n 2 4
2 3 4
3
x
|x |

15.

Вынесение множителя из-под
знака корня
Преобразование выражения n a n b к виду a n b
называется вынесением множителя из-под
знака корня нечетной степени.
3
216b 3 6 3 b 6 3 b
Преобразование выражения n a n b к виду | a | n b
называется вынесением множителя из-под
знака корня четной степени.
4
- 625b 4 ( 5)4 b | 5 | 4 b 5 4 b

16.

Внесение множителя под знак
корня
Преобразование выражения a n b к виду n a n b
называется внесением множителя под знак
корня нечетной степени.
7
2ay
5
y7 2ay 7 3
8
8
8
7
7
7
7
5y
5
2ay
125
2ay
250ay
625
54
Преобразование выражения | a | n b к виду n a n b
называется внесением множителя под знак
корня четной степени.
p 0
p6 7 ( p)6 7 6 (-p) 6 7 6 7p 6 ;
p 0
p6 7 6 7p 6 .

17.

Свойства корней n-й степени
Теорема.
Пусть n > 1 – нечетное
Пусть n ≥ 2 – четное число;
число; а1, а2, … , аk а1, а2, … , аk - любые
любые числа.
неотрицательныые числа.
Корень n-й степени из произведения нескольких чисел
равен произведению корней n-й степени из этих чисел.
n
4
a 1 a 2 ...a k n a 1 n a 2 ... n a k
256 81 625 4 256 4 81 4 625 4 3 5
В частности, пологая в этом равенстве
а1 = а2 = … = аk = а, получим
a
n
k
n ak

18.

Свойства корней n-й степени
n – нечетное число
a
n
n
n
a
a при любом а
a
n
- a n aпри любом а
n
при любых
ab a b
аиb
n
a b
n
n
n
a при любом а
n
n
n – четное число
n
n
при любых
ab
аиb
n
n
n
a
при а ≥ 0
a n | a | при любом а
- a n a
при а = 0
если а и b
ab | a | | b |
одного знака
n
n
n
a b ab
n
n
при а ≥ 0
иb≥0

19.

Свойства корней n-й степени
n – нечетное число
an b n
n
n при любых
a b
аиb
при любых
a b a b
аиb
n
n
n
n
n
a na
n
b
b
при любых
аиb≠0
a
при любых
аиb≠0
a
n
b
b
n – четное число
a b a b
при а ≥ 0
иb≥0
a b a b
при а < 0
иb≥0
a b | a | b
при любом
аиb≥0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a n | a | если а и b одного
знака и b ≠ 0
b n |b|
n
n
n
a
a
b
b
n
при а ≥ 0
иb>0

20.

Свойства корней n-й степени
При любых натуральных значениях n ≥ 2
и k ≥ 2 для а ≥ 0 имеют место тождества:
n
a
nk
a
a
k
n k
n
a
nk
a
k
a
n
k