Аналитическая геометрия

1. Аналитическая геометрия

1

2. Прямая на плоскости

Определение.
Уравнением прямой на плоскости XOY называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой
точки этой прямой и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.
Способы задания прямой.
y
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y2
y1
y kx b
M2
2. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном
направлении
y y1 k ( x x1 )
M1
3. Уравнение прямой, проходящей через две точки
k tg
y y1
y2 y1
x x1
x2 x1
4. Уравнение прямой в отрезках
x y
1
a b
b
5. Общее уравнение прямой
a
0 x1
x2
x
Ax By C 0
2

3. Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнения плоскости.
z
Плоскость Q определена единственным образом,
n
если задана одна точка M o Q и вектор n
Вектор n
Q
Q называют нормальным вектором.
Необходимое и достаточное условие того,
что точка М принадлежит плоскости Q.
Mo
0
Q.
y
M oM
n
M
n
Mo
х
1. Уравнение плоскости по точке и
нормальному вектору.
–
Заданы: точка
M o ( xo , yo , zo )
и нормальный вектор
–
n A, B, C
Уравнение плоскости:
A( x xo ) B( y yo ) C( z zo ) 0
Пусть точка
Тогда
M oM
n
M ( x, y, z) Q
M oM n 0
3

4. Аналитическая геометрия в пространстве.

2. Общее уравнение плоскости.
–
Уравнение вида
–
называется общим уравнением плоскости.
Коэффициенты A,B,C в уравнении определяют
координаты нормального вектора:
Ax By Cz D 0
n A, B, C
Q
Q
n A, B, C
Теорема.
Всякое уравнение первой степени
с тремя переменными x,y,z вида
Ax By Cz D 0
(1)
задает плоскость в пространстве
и наоборот, всякая плоскость
в пространстве может быть задана
уравнением с тремя переменными x,y,z
вида (1).
4

5. Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнения прямой в пространстве.
1. Общее уравнение прямой.
– Аксиома: линия пересечения двух
плоскостей – прямая.
l:
QQ
11
Q2
A1 x B1 y C1 z D1 0 (Q1 )
A2 x B2 y C2 z D2 0 (Q2 )
(2)
Теорема.
Система уравнений (2) определяет
прямую в пространстве тогда и только
тогда, когда коэффициенты A1 , B1 , C1
не пропорциональны коэффициентам
2
A , B2 , C2
l
Система уравнений (2) называется общим уравнением прямой.
5

6. Аналитическая геометрия в пространстве.

2. Канонические уравнения прямой.
s m, n, p
M ( x, y, z )
l
Mo ( xo , yo , zo )
x xo y yo z zo
m
n
p
M ( x, y, z ) l.
MoM s MoM s
Пусть точка
Тогда
3. Параметрические уравнения прямой.
x xo
x xo m
m
y yo
y yo n
n
z zo
z z o p
p
x xo m
l : y yo n
z zo p
параметр
6

7. Аналитическая геометрия в пространстве.

Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве.
1. Условие параллельности плоскостей.
n2 A2 , B2 , C2
Q2
Q1
Q1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
Q2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
Q1 Q2 n1 n2
A1 B1 C1
A2 B2 C2
n1 A1 , B1 , C1
2. Условие перпендикулярности плоскостей.
Q1
Q1 Q2 n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 0
n2
n1
Q2
7

8. Аналитическая геометрия в пространстве.

3. Условие параллельности прямых.
s1 m1 , n1 , p1
l1
l2
l1 l2 s1 s2
s2 m2 , n2 , p2
l1
4. Условие перпендикулярности прямых.
l1 l2 s1 s2
m1 n1
p
1
m2 n2 p2
s1 m1 , n1 , p1
m1m2 n1n2 p1 p2 0
l2
s2 m2 , n2 , p2
8

9. Аналитическая геометрия в пространстве.

5. Условие параллельности прямой и плоскости.
n A, B, C
s m, n, p
l Q s n s n 0 Am Bn Cp 0
l
Q
6. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
s m, n, p
n A, B, C
l Q s n
Q
l
m n p
A B C
9