Определенный интеграл

1. Определённый интеграл.

2.

Криволинейная трапеция. Понятие определённого интеграла.
y = f(x)
y
x=a
x=b
Пусть y = f(x) непрерывная
функция на отрезке [a;b]
0
a
b
x
Криволинейная трапеция- это фигура, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной функции f(x),
x∈[a;b], параллельными прямыми x=a и x=b и отрезком
оси ОХ.

3.

Найдём площадь криволинейной трапеции.
y = f(x)
y
1) Разобъем отрезок [a;b] точками xi
(a = x0<x1<x2<…<xn-1< xn= b) на n
отрезков [a;x1], [x1;x2],…,[xn-1;b]
2) Пусть длина отрезка
xi xi xi 1 , i 1,2,..., n
1
0 a=x0 x1
xi-1
n x
i
xi xn-1 b=xn
3) Проведём через точки xi
прямые, параллельные оси ОУ.
4) В каждом отрезке [xi-1;xi] возьмём произвольную точку
вычислим значение функции в ней, т.е. f(ξi)
ξi
и

4.

y = f(x)
y
5) Произведение f ( i ) xi равно
площади
прямоугольника
с
основанием Δxi и высотой f(ξi).
1
0 a=x0 x1
i
xi-1
n x
xi xn-1 b=xn
6) Составим сумму всех таких
произведений (интегральная сумма):
n
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x2 ... f ( n ) xn f ( i ) xi S n
i 1
7) Интегральная сумма приближенно равна площади криволинейной
трапеции, т.е.
n
S S n f ( i ) xi
i 1

5.

y = f(x)
y
8) Пусть длина наибольшего из
отрезков [ xi-1;xi]:
1
0 a=x0 x1
9) При
предел
x
i
xi-1
max xi , i 1,2,..., n
xi xn-1 b=xn
n max xi 0
S lim S n lim
n
0
интегральная сумма имеет
n
f ( ) x
( n ) i 1
i
i

6.

y = f(x)
S lim S n lim
y
0
n
n
f ( ) x
i
( n ) i 1
i
определённый интеграл
S
b
n
0
a
b
x
f ( ) x f ( x) dx
lim
0
( n ) i 1
i
i
a
Геометрический смысл определённого интеграла:
определённый интеграл представляет собой площадь
криволинейной трапеции
b
S f ( x) dx
a

7.

b
f ( x) dx
- определённый интеграл
a
f (x) - подынтегральная функция
f ( x) dx - подынтегральное выражение
х – переменная интегрирования
a– нижний предел интегрирования
b– верхний предел интегрирования
пределы
интегрирования

8. Свойства определённого интеграла.

• 10. Постоянный множитель можно выносить
за знак определённого интеграла:
b
b
k f ( x) dx k f ( x) dx ,
a
a
k const

9.

• 20. Определённый интеграл от алгебраической
суммы двух или нескольких функций равен
алгебраической сумме их интегралов, т.е
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
• 30. При перестановке пределов интегрирования,
знак интеграла меняется на противоположный,
т.е.
b
a
f ( x) dx f ( x) dx
a
b

10.

• 40. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и
a<c<b, то
b
c
b
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx
a
a
y
y = f(x)
S2
S1
0
a
с
b
x
c

11. Формула Ньютона-Лейбница

b
f ( x) dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)
a
знак двойной подстановки

12. Метод непосредственного интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл
sin x dx
0
sin x dx cos x
0
cos x
0
cos 0 cos 1 ( 1) 2
0
Ответ. 2

13. Пример 2. Вычислить интеграл

x 3 x
1 x dx
8
Пример 2. Вычислить интеграл
x x
8
8
3
dx
dx
x
dx
x
3
x
1
1
1 x
1 1
8
3
8
8
2
3
(8 1) 3(3 8 3 1) 7 3 (2 1) 4
Ответ. 4

14. Метод подстановки (метод замены переменной).

Теорема.
b
Пусть дан интеграл
f ( x) dx
, где функция f(x)
a
непрерывна на отрезке [a;b].
Введём новую переменную x (t )

15.

Если
1) ( ) a , ( ) b
2) (t ) , (t )
3)
непрерывны на отрезке
;
f (t ) определена и непрерывна на отрезке ;
то
b
f ( x) dx f (t ) (t ) dt
a

16. Замечание.

1) При вычислении определённого интеграла методом
подстановки возвращаться к старой переменной не
требуется;
2) Часто вместо подстановки
подстановку t g (x) ;
x (t )
применяют
3) Не следует забывать менять пределы интегрирования
при замене переменных!

17.

2
Пример 3. Вычислить интеграл
2 x dx
2 x
1
2
1
2
2x2 1 t
d 2 x 1 dt
2
4 x dx dt
1
dt
2
2 ( 1) 2 1 3
2
2 x dx
2 x
1
2
9
1
2
9
1 dt 1 2
2 t dt
23t
23
2 x dx
2 22 1 9
1
2t
9
3
1
2t
3
9
1
1
1 1 1
2 3 2 9 6 18 9
1
Ответ.
9

18. Пример 4. Вычислить интеграл

2
cos x cos 3 x dx
0
2
2
2
cos x cos x dx cos x (1 cos x) dx cos x sin 2 x dx
3
0
2
0
0
cos x t
d cos x dt
2
0
1
0
1
0
1
2
cos x sin x dx t dt t dt
sin x dx dt
cos 0 1
cos 0
2
t
3
2
3
2
1
0
2
3 t
1
3 0
2
3
2
Ответ.
3

19. Пример 5. Вычислить интеграл

5
Пример 5. Вычислить интеграл
x 1 t
5
1 1 0
5 1 4
2 2 4 2
t t 0 t t
5
3
4
x
dx dt
x 1 dx
1
x t 1
d ( x 1) dt
x
x 1 dx (t 1) t dt
1
4
0
3
2
4
1
2
2 5 4 2 3
t dt t dt
t 0
t
5
3
0
0
4
0
2
2
272
16 2 4 2
5
3
15
272
Ответ.
15
4
0

20. Метод интегрирования по частям.

Теорема.
Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на
отрезке [a;b], то имеет место формула
b
b
a
a
b
u
dv
uv
a v du

21.

e
Пример 6. Вычислить интеграл
x ln x dx
1
e
e
e
x2
1 x2
x2
1
e
e
1 x ln x dx 2 ln x 1 2 1 x dx 2 ln x 1 2 1 x dx
u ln x
du dx
x
2
x2
x
ln x 1e
2
4
e
1
dv x dx
x2
v
2
e2
e2 1 e2 e2 1 1 e2
1
ln e ln 1
2 4 4 2 4 4
4
2

22. Пример 7. Вычислить интеграл

0
0
0
x
x
x
e
sin
x
dx
e
cos
x
e
0
cos x dx
u e x
dv sin x dx
x
v cos x
du e dx
e x cos x 0 e x sin x 0 e x sin x dx
0
u e x
dv cos x dx
x
v sin x
du e dx
x
e
sin x dx

23.

Пусть
F ( x) e x sin x dx
0
Тогда
F ( x) e x cos x 0 e x sin x 0 F ( x)
2 F ( x) e x cos x 0 e x sin x 0
2F ( x) e0 cos 0 e cos e sin e0 sin 0 1 e
1 e
F ( x)
2
Ответ.
1
e
x
e
0 sin x dx 2