Последовательности и ряды. Лекция № 5

1. Лекция № 5. Тема: «Последовательности и ряды»

Специальность: «Лечебное дело»
Курс: 2
Дисциплина: «Математика»
Подготовила: преподаватель высшей
категории Фёдорова Олеся Николаевна
Калуга 2012 год

2. План лекции

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Числовой ряд. Определение. Сумма
ряда.
Ряды с неотрицательными членами.
Абсолютно и условно сходящиеся
ряды.
Функциональные ряды.
Степенные ряды.
Ряд Тейлора.
Применение рядов для вычислений.

3. Числовые ряды.

Рассмотрим последовательность чисел
an , n N
a1, a2, a3, . . .,an .
Выражение a1+ a2+ a3+ . . .+an +…
называется числовым рядом и обозначается
an
Следовательно
n 1
a
n 1
n
a1 a2 a3 ... an ...
Числа a1, a2,a3,… называются членами ряда, an называется
n членом или общим членом ряда.

4.

Суммы
S1 a1 , S2 a1 a2 , S3 a1 a2 a3 ,..., Sn a1 a2 ... an ...
называются частичными суммами ряда
Ряд называется сходящимся, если
последовательность его частичных сумм
сходится, т. е. при неограниченном
возрастании n частичная сумма Sn ряда имеет
конечный предел. Этот предел называется
суммой ряда.
lim S n S
n

5.

Ряд называется расходящимся, если
последовательность его частичных сумм
расходится, т. е. при неограниченном
возрастании n частичная сумма Sn ряда не
имеет конечного предела.
Необходимое условие сходимости:
ряд сходится, если его общий член стремится к
нулю, когда его номер неограниченно
возрастает.
Не является достаточным для сходимости ряда,
1
1
1
1
...
т. к. в этом убеждает ряд
2
3
n
- гармонический ряд.

6. Ряды с неотрицательными членами

a
Если ряд
, где an 0, то
n 1
n
последовательность его частичных сумм
является неубывающей
последовательностью.
Теорема 1: Если последовательность
частичных сумм ограничена, то ряд
сходится, если последовательность
неограничена – то ряд расходится.

7.

Теорема2 (признак сравнения): Если для
двух рядов выполняется условие an bn
для любого n, то из сходимости ряда an
следует сходимость ряда bn, а из
расходимости ряда an следует
расходимость ряда bn.
Теорема 3 (признак Даламбера): если для
ряда с положительными членами
an 1
q, то ряд
выполняется условие lim
n a
n
сходится при q<1, и расходится при q>1.
Если q = 1, то ряд может и сходится и
расходится.

8. Абсолютная и условная сходимость рядов

Ряд a1+ a2+ a3+ . . .+an +… называется
абсолютно сходящимся, если сходится ряд
│a1│+ │ a2 │ + │ a3 │ + . . .+ │ an │ +…
составленный из его абсолютных величин
(модулей).
Ряд называется условно сходящимся, если
он сходится, а соответствующий ему ряд из
абсолютных величин расходится.

9. Функциональные ряды

Рассмотрим последовательность функций,
f1 x , f 2 x , f 3 x ,..., f n x ,...
имеющих единую область определения.
Сумма функций
f1 x f 2 x ... f n x ...
называется функциональным рядом и
обозначается
f n x
n 1
Если x фиксировано, то ряд станет
числовым

10.

Множество точек x из области определения,
для которых соответствующий ряд сходится,
называется областью сходимости
функционального ряда.
Частный случай функциональных рядов –
степенные ряды.
Функциональный ряд вида
a0 a1 x a2 x a3 x ... an x ...
2
3
n
где a0 , a1 , a2 ,..., an ,... постоянные
коэффициенты называется степенным
рядом.

11.

Областью сходимости степенного ряда
является интервал с центром в точке 0.
Внутри интервала ряд сходится абсолютно,
а вне интервала расходится. (-r; r), r –
радиус сходимости.
Для некоторых рядов интервал сходимости
– это вся числовая ось (r=±∞), для других
рядов – это единственная точка (r=0).
Разложение функции в степенной ряд
единственно и имеет вид,
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n) ( x0 )
2
f ( x) f ( x0 )
( x x0 )
( x x0 ) ...
( x x0 ) n
1!
2!
n!
n 0
который называется рядом Тейлора