Интегральное исчисление

1.

Дисциплина: «Математика»
Специальность: «Лечебное дело»
Курс: 1

2.

Функция F(x) называется первообразной для
функции f(x), если выполняется равенство
F’(x)=f(x)
Нахождение первообразной для данной функции
называется интегрированием функции
Свойства первообразной
1. Если F(x) является первообразной для функции
f(x), то и функции F(x)+c тоже является
первообразной для f(x), где c–это константа.
2. Если F1 (x) и F2(x) первообразные функции f(x),
то они отличаются на константу, т. е. F1(x)-F2(x)
=c

3.

Совокупность всех первообразных называется
неопределенным интегралом
f ( x)dx F ( x) c
Свойства неопределенного интеграла:
1.
сf
(
x
)
dx
с
f
(
x
)
dx

4.

2.
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
3.
4.
F
'
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
d ( f ( x)dx) f ( x)dx

5.

f(x)
F(x)
1
x
c
cx
x2
x3/3
xn
xn+1/n+1, при
1/x
ln |x|
1/√x
2√x
ax+b
ax2/2+bx
1/ax+b
ln|ax+b|/a
lnx
x lnx – x
ax
ax /lna
ex
ex

6.

f(x)
F(x)
sin x
- cos x
cos x
sin x
1/sin2 x
- ctg x
1/cos2 x
tg x

7.

Непосредственное интегрирование
Интегралы вычисляются с помощью свойств и
табличных формул
Пример:
1.
(
3
sin
x
5
x
e
)
dx
9
x

8.

2. Замена переменной
Для вычисления интегралов вводится новая
переменная t, через которую выражается исходная
функция f(x) и исходный дифференциал dx.
Вычисляется интеграл относительно новой
переменной t, получается первообразная F(t) и
делается обратная замена – выражаем t через
выражение содержащее x
Пример:
(
5
x
8
)
dx
7

9.

3. Интегрирование по частям
Для вычисления интегралов используется формула:
udv
uv
vdu
где u и dv части исходного интеграла. Чтобы
применить формулу необходимо найти v и du,
применяя формулы для нахождения дифференциала
и интеграла
Пусть u = f(x), тогда du = f’(x)dx;
dv = g(x)dx, следовательно v = ∫g(x)dx

10.

Пример:
e
sin
xdx
x
u = sin x | du = (sin x)’dx = cos x dx
dv = exdx | v = ∫exdx = ex

11.

Интеграл взятый на определенном отрезке
называется определенным интегралом
b
f ( x) dx
a
a и b – пределы интегрирования, a – нижний
предел, b – верхний предел (a < b)
Для решения определенного интеграла применяется
формула Ньютона-Лейбница:
b
a
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)

12.

1.
2.
3.
b
b
a
a
c f ( x)dx c f ( x)dx
b
b
b
a
a
a
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
4. Если f(x) ≤ g(x) на интервале [a; b], то
b
a
b
f ( x)
g ( x)
a

13.

1.
Нахождение площади фигуры, ограниченной
функцией (функциями):
b
S
f ( x) dx
a
b
S
a
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
где f(x) ограничивает фигуру сверху, g(x)
ограничивает фигуру снизу

14.

2. Нахождение объёма тела вращения,
ограниченного функцией:
b
V f ( x)dx
2
a
3. Нахождение длины дуги кривой:
b
L ( f ' ( x)) 1
2
a

15.

Уравнения содержащие аргумент, функцию и её
производные называются дифференциальными
уравнениями
Решением дифференциального уравнения является
функция y = φ (x; c), где c – константа.
При решении дифференциального уравнения
производная заменяется на отношение
дифференциалов:
dy
y'
dx

16.

Чтобы выразить функцию через аргумент
необходимо избавиться от дифференциалов. Для
этого необходимо проинтегрировать выражение.
Результатом будет функция y = φ (x; c), которая
называется общим решением дифференциального
уравнения (т.к. вместо с можно подставить любое
число). Если константа принимает конкретное
числовое значение, то из общего решения
выделяется частное решение дифференциального
уравнения. Для этого необходимо знать начальные
условия: y = y0 при x = x0 или y0 = f (x0)