Закон сохранения энергии

1.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
ЭНЕРГИИ

2.

ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ
ЭНЕРГИЯ
• Полная механическая энергия системыэто энергия движения и
взаимодействия
E T U

3.

• Рассмотрим систему материальных
точек
m1 , m2 … mN
V1 , V2 … VN
…
F1in
FNin
-равнодействующая внутренних консервативных сил
…
F1out
FNout
-равнодействующая внешних консервативных сил
…
f1
fN
-равнодействующая внешних неконсервативных сил

4.

• Запишем для каждой точки уравнения
движения
dV1
m1
F1in F1out f1
dt
…
…
…
…
dVN F F
mN
Nin Nout f N
dt

5.

• Умножим скалярно каждое уравнение
на
dri Vi dt
dV1
( f dr )
1 1
m1 (V1dt
) ( F1in F1out )dr1
dt
+
…
…
…
…
dVN
mN (VN dt
) ( FNin FNout )drN ( f N drN )
dt

6.

mi (Vi dVi )
N
i 1
( f i dri )
( Fiin Fiout )dri
N
N
i 1
i 1
2
N
miVi
mi (Vi dVi ) d
2
i 1
i 1
N
dT
- Приращение кинетической энергии системы
( Fiin Fiout )dri
N
i 1
dU
- Приращение потенциальной энергии системы
( f i dri )
N
i 1
dA
-Работа внешних
неконсервативных сил

7.

dT dU dA
d (T U ) dA
При переходе системы из состояния 1 в состояние 2
1
1
1
1
d (T U ) dA

8.

• Изменение полной энергии системы
при переходе из одного состояния в
другое равно работе внешних
неконсервативных сил

9.

• Если неконсервативные силы
отсутствуют, то
d (T U ) 0
E T U const
• выполняется закон сохранения энергии

10.

Закон сохранения энергии
• В системе тел, между которыми
действуют только консервативные
силы, полная механическая энергия
сохраняется ( не меняется со
временем).
• В таких системах возможен лишь
переход энергии из одного вида в
другой

11.

КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО
ТЕЛА

12.

• Любое движение тела можно
представить как сумму
поступательного движения и
вращательного движения вокруг
неподвижной оси

13.

Твердое тело
• - расстояние между двумя любыми
точками которого не меняется в
процессе движения

14.

• Поступательное движение – при
котором любая прямая, проведенная
через произвольные точки тела
перемещается параллельно самой
себе.

15.

16.

• При этом все точки тела за одинаковые
промежутки времени совершают
одинаковые перемещения
• Скорости и ускорения всех точек
твердого тела одинаковы

17.

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ
НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ

18.

• Движение, при котором все точки тела
движутся по окружности, центры
которых лежат на одной прямой,
называемой осью вращения.

19.

20.

V1
V2
V1 V2

21.

22.

Угол поворота
1
Δφ
2
Псевдовектор – вектор, модуль которого
равен углу поворота, а направление
определяется правилом правого винта

23.

Угол поворота
2
Δφ
1

24.

Единицы измерения угла
поворота
• радиан
R
1рад
R
R
• Радиан- центральный угол ,
опирающийся на длину дуги радиуса R

25.

R
1рад
2R
0,5R
0,5 рад
R
рад
2 рад

26.

• Если точка совершит полный оборот
360 градусов
2 R
R
2
360 2
180

27.

Угловая скорость
d
Вектор,
lim
направленный по
t 0 t
dt
оси вращения в ту
же сторону, что и
угол поворота
2
Δφ
1

28.

Единицы измерения
d
рад
dt
с

29.

ПЕРИОД ВРАЩЕНИЯ
• Время, за которое точка совершает полный
оборот, т.е поворачивается на угол 2π
2
t
T
T
2

30.

Связь между угловой скоростью
и линейной
dr Rd
V
R V
dt
dt
R
dr
dr Rd
dφ
R- радиус окружности

31.

Угловое ускорение
d d
2
dt dt
2

32.

• При ускоренном движении
направление вектора углового
ускорения совпадает с
направлением угловой скорости
d
0
dt
2
dφ
1

33.

• При замедленном движении
направление вектора углового
ускорения направлено
противоположно угловой
скорости
d
0
dt
2
dφ
1

34.

Тангенциальное ускорение
• Направлено по касательной
• к окружности
dV
V R
a
dt
d
d ( R)
R
a
R a
dt
dt

35.

Нормальное ускорение
• Направлено к центру
окружности
V
R
an
R
R
2
2 2
R an
2

36.

Момент инерции материальной
точки
m
J mr
r
r- расстояние до оси
вращения
2

37.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
• Для системы
материальных точек
• mi- масса i
материальной точки
• ri – расстояние от i
материальной точки
до оси вращения
J mi ri
i
2

38.

• Для непрерывного
распределения
массы
J r dm
2

39.

ПРИМЕР
• МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТОНКОГО КОЛЬЦА,
относительно оси, проходящей через его
центр (масса кольца m, радиус R)
J r dm
2
dm
R
R
R dm
2
R
2
dm
mR
2

40.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ДИСКА массой M и
радиуса R
dr
r
J dJ
dJ r dm
2
R
Момент инерции тонкого колечка
Найдем массу тонкого колечка радиуса r и толщиной dr

41.

Пусть плотность материала диска ρ
M
V
Масса всего диска M
V R H
2
dm dV
dm HdS
Объем диска V
Толщина диска H
M
2
R H
- Масса тонкого кольца
dS -площадь тонкого кольца
2πr
dr
dS 2 rdr

42.

dJ r dm
M
dm 2 rdr H R 2 H
M
dm 2 2 rdr H
R H
2 2 Mrdr
dJ r
2
R
R
3
2 Mr dr 2M 3
r
d
r
J dJ
2
2
R 0
R
2

43.

4 R
2M r
J 2
R 4
0
MR
2
2
4
2M R
2
R
4
J

44.

Момент инерции тонкого стержня массы
M и длиной L относительно оси,
проходящей через его центр
J x dm
2
x
dx
L
dm
Пусть линейная плотность стержня ρ
dm dx
M
L

45.

L
2
M
2
J x dx
2 x dx
L
0
2
3
M x
2
L 3
L
0
L
2
M 2
2
L
3
3
2
ML
12

46.

Моменты инерции некоторых тел

47.

ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
• Позволяет найти момент инерции
относительно оси, которая параллельна
оси, проходящей через центр масс
А
С
a
JC
JA
J A J C Ma
2

48.

Момент инерции тонкого стержня
относительно оси, проходящей
через край стержня,
перпендикулярно ему
JC
JA
С
L
2
ML
JA
3
А
J A J C Ma
2
2
L
a
2
12
2
2
2
ML
ML ML
JA
3
4
12
J C ML

49.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
ВРАЩЕНИЯ
• Разобьем вращающееся тело на маленькие
объемы mi, находящиеся на расстоянии ri от оси
вращения
r1
r2
r3
m1
m2
m3

50.

• Центры окружностей лежат на оси вращения
(по определению)
• Угловая скорость вращения этих объемов
одинакова, а линейная - различна
V1 V2
r1
r2

51.

• Кинетическая энергия вращающегося тела
2
1 1
2
2 2
mV
mV
Tвр
2
2
Vi ri
mi ri 2 2
Tвр
2
2
i
2
i
miVi
i 2
J
mi ri
2
2
J – момент инерции тела
2
2
Tв р

52.

• В случае плоского движения твердого
тела кинетическая энергия складывается
из кинетической энергии поступательного
движения и кинетической энергии
вращательного движения
mV
J C
T
2
2
2
C
2
VC- скорость поступательного
движения центра масс
JC- Момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр масс

53.

ПРИМЕР
• Найдем кинетическую энергию
катящегося цилиндра (m)
R
VC

54.

mV
J C
T
2
2
2
C
2
mR 2
JC
2
VC
R
2
C
mV
1 mR
T
2
2 2
2
C
2
C
mV
mV
2
4
2
2
VC
2
R
2
C
3mV
4