Колебания

1.

2.

Проверочная работа
x1
x2

3.

m1v0
a) vC
m1 m2
2
m12v02
m1 m2 m1v0
б ) Eпост
,
2 m1 m2 2 m1 m2
Eколеб
mv
mv
mv
m1m v
v
Eпост
2
2
2 m1 m2 2 m1 m2 2
2
1 0
в ) m1 x1 k x1 x2
m2 x2 k x1 x2
2
1 0
2 2
1 0
2
2 0
m2
m1m2 x kx m1 m2
m1
2
0

4.

x x1 x2
x kx
k
2
2
ka
Eколеб
2
2
v02
v
2
a 0
2
k

5.

Универсальность гармонических
колебаний
• Любую функцию можно разложить в интеграл Фурье по тригонометрическим функциям (или в ряд Фурье).
• Линейное приближение для силы приводит
к уравнению гармонических колебаний

6.

Система Лотки-Вольтерры

7.

Уравнение гармонических
колебаний и его решение
x De t x 02 x 0 : 2 02 0
1 i 0 , 2 i 0
x D1e
i 0 t
D2e
i 0 t
x A cos 0t A sin 0t B cos 0t C sin 0t
Линейность уравнения : если x1 и x2 решения
уравнения, то x1 x2 также решение.

8.

Переход к действительному
решению
D1e i D2ei D1 iD1 cos i sin
D2 iD2 cos i sin
D1 D2 cos D1 D2 sin i
xRe A cos 0t B cos 0t C sin 0t

9.

Параметры колебаний
x A cos 0t
• Амплитуда, фаза, начальная фаза, циклическая частота, частота.
• Период T: 0 t T 0t 2 0T 2
Колебания, период которых не зависит от
амплитуды, называются изохронными
2 1
T
0 0

10.

Константы решения
x A cos 0t B cos 0t C sin 0t
B A cos , C A sin
C
2
2
2
A B C , tg
B
• Учет начальных условий: пусть x(0) x0 ,
v0
v(0) v0 x(t0 ) x0 cos( 0t ) sin( 0t )
0
2
v0
v0
2
2
A x0 , tg
0 x0
0

11.

Энергия гармонических колебаний
2
2
x
x
mx kx 0 mxx kxx 0 m k E
2
2
2 2
2
2
A 0 sin 0t
x
T m m
2
2
A cos 0t
2
U k
2
2
A2
E m
2

12.

Фазовая траектория
x A cos 0t , v A 0 sin 0t
2
x v
1
A A 0
Это есть уравнение эллипса с полуосями A и
A 0
2

13.

Геометрическая интерпретация
s s0 sin 0t 0

14.

Вид точного решения

15.

Метод введения вспомогательного
аргумента
x B cos C sin
• Введем амплитуду и вспомогательный
аргумент
2
2
A B C , arctg B / C
x B cos C sin A sin cos cos sin
A sin( arctg )
• Введем аргумент arctg C / B
x A cos cos sin sin A cos( )

16.

Сложение гармонических колебаний
с использованием МВВА
s1 s10 sin 0t 1 s2 s20 sin 0t 2
s s10 (sin cos 1 cos sin 1 )
s20 (sin cos 2 cos sin 2 )
sin (s10 cos 1 s20 cos 2 ) cos (s10 sin 1 s20 sin 2 )

17.

A ( s10 cos 1 s20 cos 2 ) ( s10 sin 1 s20 sin 2 )
2
2
s s 2s10 s20 cos( 1 2 )
2
10
2
10
s10 sin 1 s20 sin 2
tg
s10 cos 1 s20 cos 2
2

18.

Метод фазовых диаграмм
s1 s10 sin 0t 1
s2 s20 sin 0t 2
s s1 s2

19.

Метод фазовых диаграмм
s1 s10 sin 0t 1
s2 s20 sin 0t 2
s s1 s2
s01 sin 1 s02 sin 2
tg ( 0 )
s01 cos 1 s02 cos 2
2
2
2
AC AB BC 2 AB BC cos Bˆ
AB2 BC 2 2 AB BC cos 1 2
s s s 2s1 s2 cos 1 2
2
0
2
01
2
02

20.

Биения
Сложение однонаправленных колебаний с
близкими частотами
cos t cos t 2sin
t sin t
2

21.

Фигуры Лиссажу
• Сложение разнонаправленных колебаний
nTx mTy

22.

Фигуры Лиссажу при сложении
негарманических сигналов

23.

Колебания при наличие трения
1
2
mx kx rx
x 2 x 0 x 0
m
k
r
2
0 ,
m
2m
• r – коэффициент трения, – коэффициент затухания

24.

Задача
• Решить уравнение с трением x 2 x x 0
при условии 0
2
0

25.

Решение уравнений затухающих
колебаний
x De t x 2 x 02 x 0 2 2 02 0
1,2 2 2 i 2 2
1t
2t
x D1e D2e e
xRe Ae
t
t
D e
cos t e
i
1
t
D2e
i
02 2 t
B cos t C sin t
02 2

26.

Практические величины,
характеризующие затухание
• Логарифмический декремент
T
2
2
0
2
x Ae N cos t
0
1
• Добротность Q
2
2
4
2

27.

Скорость при затухающих
колебаниях

28.

Скорость при затухающих
колебаниях
t
x Ae cos t
x Ae t cos t sin t
Ae
t
sin t arctg
2
2
Ae t sin t

29.

Решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения
Пусть есть уравнение Lx F , где L – линейный дифференциальный оператор, x, F – функции t, с граничными условиями x(0)=xн,
x’(0)=vн. Часто удобно искать решение в виде
x x0 x : Lx F , Lx0 0,
x0 (0) xн x (0), x0 (0) vн x (0)

30.

Вынужденные колебания
1
2
mx kx rx F cos t
x 2 x 0 x f cos t
m

31.

Решение уравнений вынужденных
колебаний
x0 2 x0 02 x0 0 x0Re Ae t cos t
x De
i t
f
2i
D
x 2 x x fe
f
D 2
2
0 2i
2
0
i t
i t
2
fe
x 2
D exp i( t arg D)
2
0 2i
2
0

32.

D
2
, arg D exp i arctg 2
2
2
2
2
2 2
0
0 4
f
2
f cos t arctg 2
2
0
xRe
a cos t
2
2 2
2 2
0 4

33.

Резонансные кривые
a
f
2
0
2 2
4 2 2
,
2
tg 2
0 2

34.

Резонанс амплитуды
a
f
2
0
2 2
4 2 2
2
2 2
d 0 4 2 2
2 2 2 4 2 0
0
2
d
2рез 02 2 2

35.

Резонанс скорости
va
f
2
0
2 2
4 2 2
2 2 2 4 2 2
d 0
0
2
2
d
4
2 2
4
2 2
4
0 2 0 4
0
d
d
2
0
2
2
2
2
d
d

36.

1 0
4
0
4