Релятивистская динамика

1.

ГЛАВА I. МЕХАНИКА
§13. Релятивистская
динамика
О. И. Лубенченко
НИУ МЭИ
Кафедра физики им. В. А. Фабриканта
2020

2.

§13. Релятивистская динамика
2
I. Релятивистский импульс
t y′
y
t′
m0
K
O
O′
K′
u2
x′
Рассмотрим замкнутую механическую систему — два
груза одинаковой массы m0, соединённых пружиной.
В системе отсчёта K′ центр масс данной
механической системы покоится. В начальном
состоянии пружина сжата, затем она разжимается и
грузы движутся со скоростями u1 u , u2 u .
x
Должен выполняться ЗСИ.
v
m0
u1
Определим импульс МТ, как в классической механике:
p m0 u
По релятивистскому закону сложения скоростей:
P1 x 2m0 v
v u
v u
P2 x m0
m0
v
v
1 2 u
1 2 u
c
c
P1 x P2 x
Классическое определение не подходит для релятивистского импульса.

3.

§13. Релятивистская динамика
3
Подберём такое выражение для импульса, чтобы p y p y .
dy dy
dt dt
dy
В классической механике p y m0
dt
p y p y
Возьмём в качестве элементарного промежутка времени собственное время
dτ = dτ′:
dy
dy
p y m0
dτ dt 1
px
m0ux
u2
1 2
c
dτ
py
2
u
c2
pz
Релятивистская масса: m
m0uz
u2
1 2
c
m0
u2
1 2
c
m0
dτ
m0dy
dτ
py
m0dy
u2
dt 1 2
c
p
m0u y
u2
1 2
c
m0 u
u2
1 2
c
p mu

4.

§13. Релятивистская динамика
4
II. Релятивистское уравнение динамики материальной точки
Δ p F Δt
d
dt
m0 u
2
u
1 2
c
F
— релятивистское уравнение динамики МТ
F inv
III. Энергия в релятивистской механике
v
F
O
t 0
Δl
x
t 0
x 0
x 0
u 0
u 0
Wк 0
Wк 0
По т. об изменении кинетической энергии A ΔWк Wк
dA Fdl Fdx cos0 Fdx
d mu
dt
dx ud mu

5.

§13. Релятивистская динамика
u
u
u
2
c
A Wк ud mu u mu mudu mu2
20
0
0
m0c 2
mu
2
m0u2
u2
1 2
c
c2 1
2
u
c2
2u du
u
m0c 2
u2
1 2
c
2
m0u2
u2
1 2
c
m0c 2 mc 2 m0c 2
Wк mc 2 m0c 2
2
2
m
u
1
u
Wк m0c 2
1 m0c 2 1 2 1 0
2c
2
u2
1 2
c
При u << c
m0
2
u
u
c 1 2
1 2
c
c mu2 m
m0c 2
0
12
u2
1 2
c
0
2
2
5

6.

§13. Релятивистская динамика
6
W Wк m0c 2
Полная энергия W mc 2
При u = 0 W = W0 = m0c2
W0 m0c 2 — энергия покоя
Энергия покоя может переходить в другие виды энергии.
ПРИМЕРЫ
1) Реакция аннигиляции
2) Дефект масс
e e 2γ
m0
m0
m0 = 0
Атомные ядра состоят из нуклонов — протонов и нейтронов.
mp — масса покоя протона в свободном состоянии Z — число протонов в ядре
mn — масса покоя нейтрона в свободном состоянии A — массовое число
mя — масса покоя ядра
(A – Z) — число нейтронов в ядре
Всегда mя Zmp A Z mn
Дефект масс: Δm0 Zmp A Z mn mя 0

7.

§13. Релятивистская динамика
7
Рассмотрим реакцию синтеза атомного ядра — реакцию получения ядра из
отдельных нуклонов.
Изменение энергии системы нуклонов ΔW ΔWк Δ m0c 2 ΔWк c 2Δm0
В замкнутой системе ΔW = 0
ΔWк c 2Δm0
Δm0
IV. Вектор энергии-импульса
4-вектор энергии-импульса
m0c 2
W
2
u
1 2
c
m0 u
p
u2
1 2
c
W
i c
P px
p
y
p
z
p u
W c2
u cp
c W
ΔWк
c2

8.

§13. Релятивистская динамика
W
m0c 2
c 2 p2
1 2
W
W 2 c 2 p2 m02c 4 inv
Модуль вектора энергии-импульса является релятивистским инвариантом.
8