ВКБ-приближение. Общие соотношения

1.

ВКБ-приближение. Общие соотношения
Одномерное уравнение Шрёдингера
d 2 ( x)
E U x ( x) 0
2
2m dx
2
U ( x)
Длина волны Де-Бройля
( x)
b
a
x
p( x)
2m E U ( x )
Характерный масштаб изменения потенциала
L
a b
«Грубое» условие применимости квазиклассического приближения
eff
1
2m E U eff
1
L
Потенциал мало меняется на расстояниях порядка длины волны!

2.

Если бы потенциал не зависел от координат, то решением УШ была бы плоская волна:
( x) C e
i
( x )
, ( x ) p x 2 m( E U ) x
В случае слабой пространственной неоднородности потенциала решение УШ ищем в виде:
( x) C e
i
( x )
где показатель экспоненты имеет вид разложения по степеням постоянной Планка
( x) 0 ( x) 1 ( x)
i
Получить уравнения для функций 0 ( x), 1 ( x) и решить их?

3.

Исходное уравнение для показателя экспоненты
2
i 1
E U x 0
2
2m
2

4.

Нулевое приближение
0 2m E U x
2
Решение
0 ( x) 2m dx E U x p( x)dx
Потенциал не зависит от координат
0 ( x) p x

5.

Первое приближение
1
i
2
0 0 1
0 E U x
2m
im
2m
0
p
1
2 0
2p
1
1 ln p
2

6.

Квазиклассическая волновая функция
U ( x)
II
I
III
x
a
b
I, III - классически запрещённая области
I ( x)
C1
| p|
e
1
b
| p| dx
x
, III ( x)
C3
| p|
II - классически разрешённая область
( x)
C2
p
i
e
p dx
C2
p
e
i
p dx
e
1
x
| p| dx
a

7.

Условие применимости
0
0
2
Переписать условие применимости через параметры частицы и потенциала?

8.

Цепочка неравенств
0
0
2
«Конструктивная» запись условия применимости
1
0
p
p2
mF
p
1
mF
p
3
p
1
«Физическая» запись условия применимости
d ( x)
dx
0
eff
L
1
Де-Бройлеровская длина волны частицы мало меняется на расстояниях порядка её самой!

9.

Условия сшивки в области точек остановки
В точках остановки импульс обращается в нуль и условие квазиклассичности нарушается!
УШ в окрестности точки остановки
d 2 ( x)
dU
|
F
|
(
x
a
)
(
x
)
0,
U
(
x
)
E
2m dx 2
dx
2
p 2 2m E U ( x) 2mU ( x) x a
( x a)
x a
p 2 2mF ( x a)
Решение УШ – функции Эйри. Асимптотика в.ф.
2 2mF 1/ 2
C
3/ 2
sin 2 a x , x a
1/ 4
3
2 1/12
4
2mF / a x
( x)
2 2m | F | 1/ 2
C
3/ 2
exp
x
a
, x a
2
1/ 4
2 1/12
3
2 2m | F | / x a
Вопрос: можно ли использовать асимптотику функций Эйри в области
применимости квазиклассики?

10.

Условие применимости линейного разложения для потенциала вблизи точки остановки
F ( x a)
E
1
Область применимости асимптотического разложения для функции Эйри
1/ 3
m F
2
x a
1
Комбинируем неравенства
F m F
2
E
1/ 3
mF
3
p
2/3
1

11.

Графическая иллюстрация пересечения областей применимости квазиклассики и
линейного разложения для потенциала
U ( x)
Область ВКБ приближения
a
x
Область применения линейного разложения для потенциала
Найти правила «перехода» через точки поворота?
Указание: в квазиклассических формулах воспользоваться формулой
для импульса в точке остановки
p 2 2mF ( x a)

12.

Правила «перехода» через точки остановки для потенциала типа «корыто»
«Переход» через правую точку остановки из области III в область II
C2
1 a
sin
p
dx
, x a
4
x
p
( x)
x
1
| p| dx
C2
e a , x a
2 | p |
«Переход» через левую точку остановки из области I в область II
1
| p| dx
C1 e x , x b
2 | p |
( x)
C1
1 x
sin
p
dx
, x b
4
b
p
b

13.

Правила квантования Бора-Зоммерфельда
Условия сшивки в классически разрешённой области II
x a x0 x b x0 0
d x a x d x b x
0, x0 b, a
dx x x
dx
0
Записать явный вид условий сшивки в квазиклассическом приближении?

14.

Условия сшивки в классически разрешённой области II
x1 b
x2 a
x0
C
1 a
C
1
2
1
sin p dx
sin p dx 0
x
4
4
p ( x0 )
p ( x0 )
b
0
1 a
1 x0
C2 p ( x0 )
C1 p ( x0 )
cos
p
dx
cos
p
dx
0
x
4
4
b
0

15.

Правила квантования Бора-Зоммерфельда
x
1 a
1 x0
1 0
1 a
sin p dx cos p dx sin p dx cos p dx 0
x
4 b
4
4 x0
4
b
0
Или
1 a
sin p dx 0
2
b
1
p
dx
n
b
2
a
Какое условие на величину n?

16.

Интегралы по траекториям
(факультативно, подробности в книге Р.Фейнман, А.Хибс «Квантовая механика и интегралы
по траекториям»)
Качественные наводящие соображения
Амплитуда вероятности обнаружить частицу, находящуюся в квантовом состоянии n в точке
с координатой x:
x n n ( x)
Амплитуда вероятности обнаружить частицу, находящуюся в момент времени t0 в точке
с координатой x0 ,, в точке с координатой x в момент времени t:
x(t ) x(t0 ) G( x, t | x0 , t0 )
В квазиклассическом приближении
x(t ) x(t0 ) G ( x, t | x0 , t0 )
i
exp
S ( x, t | x0 , t0 )
x
i
pdx E (t t0 ) exp S ( x, t | x0 , t0 )
x0
- классическое действие

17.

Условие полноты
dx x
x 1
Амплитуда вероятности обнаружить частицу, находящуюся в момент времени t0 в точке
с координатой x0 ,, в точке с координатой x в момент времени t:
x(t ) x(t0 )
x(t ) x(tm ) dxm x(tm ) x(tm 1 ) dxm 1
x(tn ) x(tn 1 )
x(t 2 ) x(t1 ) dx1 x(t1 ) x(t0 ) , xm x(t m )
i
exp S ( xn , xn 1 )

18.

2 i
A
m
1/ 2
K (b, a) xb xa ,