Определение и свойства

1.

Определение и свойства
Гомотетия — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом k не равно 0. При этом центр остаётся на месте.
Свойства:
Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией
Является частным случаем преобразованием подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при
гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии k» можно говорить «коэффициент подобия k».
Артём Шищенко 9а

2.

Частные примеры гомотетии
K= -1. OX1=OX
Т. симметрична точке Х
относительно центра
гомотетии. Симметрия
относительно точки О.
K=1. OX1=OX
Т. совпадает с
точкой Х.
Тождественное
преобразование
плоскости.
Сидорова Софья, 9А

3.

Где используется:
Принцип гомотетии применяется не
только для решения задач,
доказательств теорем.
Законы гомотетии используются в
разных сферах деятельности
человека: в кино (кинопроектор), в
театре теней, в изобразительном
искусстве, в конструкции, в ремонте
квартиры и т.д
Слайд выполнил: Тряпицын Леонид 9 «А»
Тема: Гомотетия «Где используется»

4.

ЗАДАЧА
Условие:
Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
Решение:
Пусть O1 — образ центра O окружности S радиуса R при гомотетии с центром в точке Q и
коэффициентом k. Пусть k > 0. Если M — произвольная точка этой окружности, а M1 — её образ
при рассматриваемой гомотетии, то
O1M1 = kOM = kR.
Следовательно, точка M1 лежит на окружности S1 с центром O1 и радиусом kR.
Ясно также, что любая точка окружности S1 является образом некоторой точки окружности S при
этой гомотетии (достаточно рассмотреть образ этой точки при обратной гомотетии, т.е. при
гомотетии с центром Q и коэффициентом 1/k)
Аналогично для k < 0.
Иван Суслов, 9А