Первый признак равенства треугольников

1. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2.

А
В
С
В
А
С

3.

ТРЕУГОЛЬНИК
и его элементы
В
А
A, B, C – вершины,
АВ, ВС, АС –стороны,
A, В, С – углы.
С
P∆ABC = AB + ВC + АC
Периметр треугольника
равен сумме длин всех его
сторон

4.

Назовите углы треугольника DEK,
прилежащие к стороне EK.
E
D
K

5.

Назовите углы треугольника MNP,
прилежащие к стороне MN.
N
P
M

6.

Назовите угол треугольника DEK,
заключенный между сторонами DE и DK;
E
D
K

7.

Назовите угол треугольника MNP,
заключенный между сторонами РN и РМ.
N
P
M

8.

Между какими сторонами треугольника DEK
заключен угол К;
E
D
K

9.

Между какими сторонами треугольника
MNP, заключен угол N;
N
P
M

10.

∆ABC = ∆PSK. Выпишите соответственно
равные элементы этих треугольников.
B
S
K
A
C
P

11. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Если две стороны и угол между ними
одного треугольника равны
соответственно двум сторонам и
углу между ними другого
треугольника, то такие
треугольники равны.

12. ТЕОРЕМА

С
A
C1
B
A1
ТЕОРЕМА
B1
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1
ВAС = B1A1C1
AC = A1C1;
AB = A1B1.
Доказать: ∆ABC = ∆A1B1C1
Доказательство:
1.Так как ВAС = B1A1C1 , то ∆ABC можно наложить на ∆A1B1C1 , так
что вершина А совместится с вершиной A1 , а стороны АВ и АС наложатся
соответственно на лучи A1B1 и A1C1
2.Поскольку АВ = A1B1 , то сторона АВ совместится со стороной A1B1 , в
частности, совместятся точки В и B1.
3.Поскольку АС = A1C1, то сторона АС совместится со стороной A1C1, в
частности, совместятся точки С и C1. Следовательно, совместятся
стороны ВС и В1C1.

13. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

K
M
P
T E
F
• Что известно о
треугольниках MKT и EPF?
• Какой вывод можно сделать?

14. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

B
D
O
A
C
• Что известно о
треугольниках ABO и DCO?
• Чего не хватает для того
чтобы сделать вывод о
равенстве треугольников?

15. ЗАДАЧА №3 (№94а)

A
• Дано: ∆ABD u ∆CDA;
AB = BC;
• 1 = 2 ;
• Доказать:
• ∆ABD = ∆CDA
C
1
2
D
B
Доказательство
1) Рассмотрим ∆ABD и ∆CDA;
• AB = АC – по условию;
• 1 = 2 – по условию;

16. ЗАДАЧА №3 (№94а)

A
• Дано: ∆ABD u ∆CDA;
AB = АC;
• 1 = 2 ;
• Доказать:
• ∆ABD = ∆CDA
C
1
2
D
B
Доказательство
• АD – общая.
2) Значит, ∆ABD = ∆CBD по двум
сторонам и углу между ними.

17. ЗАДАЧА №4 (№95a)

ЗАДАЧА №4
B
1
2
A
D
(№95a)
C • Дано: AD = BC;
• 1 = 2 ;
• Доказать:
• ∆ABC = ∆CDA.
Доказательство
1) Рассмотрим ∆ ABC и ∆CDA;
• AD = BC - по условию;
• 1 = 2 - по условию,
• AC – общая.

18. ЗАДАЧА №4 (№95a)

ЗАДАЧА №4
B
1
2
A
D
(№95a)
C • Дано: ВС = АD;
• 1 = 2 ;
• Доказать:
• ∆ABC = ∆CDA.
Доказательство
2) Значит, ∆ABC = ∆CDA по двум
сторонам и углу между ними.

19. ЗАДАЧА №5

К
Р
A
М
Дано: AK = PM;
KAP = MPA ;
K = 120⁰
Найти M.
Решение.
1) Рассмотрим ∆KAP и ∆MPA;
• AK = MP по условию;
• KAP = MPA по условию,
• AP – общая.

20. ЗАДАЧА №5

К
Р
A
М
Дано: AK = PM;
KAP = MPA ;
K = 120⁰
Найти M.
Решение.
2) Значит, ∆KAP = ∆MPA по двум
сторонам и углу между ними.
3) Из равенства треугольников следует
K = M = 120⁰.
Ответ: M = 120⁰.

21. ЗАДАЧА №6

М
N
2
1
A
В
C
Дано: AM = CN;
AB = BC; MB = 7см;
1 = 2;
Найти NB.
Доказать MB = NB.
Решение.
1) Рассмотрим ∆AMB и ∆CNB;
• AM = CN по условию
• AB = BC по условию;
• 1 = 2 по условию,

22. ЗАДАЧА №6

М
N
1
A
2
В
C
Дано: AM = CN;
AB = BC; MB = 7см;
1 = 2;
Найти NB.
Доказать MB = NB.
Решение.
1) Рассмотрим ∆AMB и ∆CNB;
• AM = CN по условию
• AB = BC по условию;
• 1 = 2 по условию,

23.

24. №1

Закончить предложение
∆ABC = ∆KPS по первому признаку,
если
а) AB = KP, AC = KS и ____=____
б) BC = PS, ∠B = ∠P и ___=___
в) ∠С = ∠S, ___=___и___=___.
B
C
A
P
K
S

25. №2

Закончить предложение
∆ABC = ∆EFM по первому признаку,
если
а) AB = EF, AC = EM и ___=___
б) BC = FM, ∠B = ∠F и ___=___
в) ∠С = ∠M, ___=___, ___=___.
B
A
F
C
E
M

26. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

П14,15 вопросы 1-4
Теорему и
доказательство
учить;
№95, 98