Моделирование движения жидкости под воздействием поршня

1. Моделирование движения жидкости под воздействием поршня

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра ЮНЕСКО по новым информационным технологиям
Моделирование движения
жидкости под воздействием
поршня
Работу выполнил:
ст-т группы М-112
Мазепа Е.Е.
Научный руководитель:
канд. физ.-мат. наук Стуколов С.В.
1

2. Актуальность

Волна – это потенциальное опасное явление
для плавающих и закрепленных на воде
сооружений.
2

3. Цель

Создание
численной
модели
работы
волнопродуктора
поршневого
типа
комплексным методом граничных элементов
и определения диапазона скоростей поршня
для получения необрушающиеся волны.
3

4. Задачи

1. Реализация КМГЭ
1.
Тестирование методом пробных функций
2. Реализация алгоритма движения по времени
1.
2.
3.
Реализация алгоритма вычисления поля скоростей
Реализация алгоритмов проверки законов сохранения массы и
полной энергии
Тестирование на решении задачи о колебании жидкости под
действием силы тяжести
3. Решение задачи о разгонном движении поршня до
постоянной скорости
1.
2.
Модификация алгоритма расчета с учетом движущегося тела
Определение диапазона скоростей движения поршня, при
котором порождается необрушающаяся волна
4

5. Постановка задачи

Дана область течения D, ограниченная
твердыми стенками, свободной границей и
твердой перемещающейся стенкой.
На области решается уравнение Лапласа:
w z, t 0, z z x, y D
(1)
На твердых границах выполняются условия не
протекания: 0, z C1, C2.
(2)
5

6.

.
На свободной границе выполняются
кинематическое и динамическое условия:
dz
(3)
i , z C3
dt
x
y
d 1
2
y 0, z C1
dt 2
На торцевой стенке поршня задано
следующее условие: U t y .
(4)
(5)
6

7. Алгоритм решения

Краевая задача (1)-(5) в которой время явно
входит только в (3) и (4). Данные уравнения
представляют
собой
обыкновенные
дифференциальные уравнения первого
порядка, для интегрирования которых
используется явный метод Эйлера.
Задаем
первоначальное
положение
свободной границы и расположение
0
потенциала на ней.
7

8.

Для определения положения свободной
границы и вычисления потенциала на ней в
определенный момент времени находятся
по формулам (6) и (7):
k
k 1
k
(6)
z z
k 2
k 1
k
(7)
0.5 y k , k 0,1,2...
где
k , yk , zk
- значение функции на k шаге.
8

9.

После получения новой смешанной краевой
задачи с условиями (2), (5) и (7)
необходимо определить значение функции
тока на С3 и потенциала скорости на С1, С2,
С4
используя
комплексный
метод
граничных элементов, в основе которого
лежит интегральная формула Коши:
w z
1
w( z0 )
dz
z0 i C z z 0
9

10.

z0
для точки на границе С, для
внутренней точки , а для угловой точки
z0 . Обход области будет иметь
положительное направление.
Для получения численного решения
необходимо разбить С на N линейных
элементов Гj узлами zj (j=1,N).
Тогда w z lim G z , G z - глобальная
max j G z
N
линейная пробная функция для z
j 1
j
N
и G z w z
j 1
j
10

11.

После разбиения и линейной аппроксимации
функции w(z) на границе интеграл Коши
можно вычислить аналитически в смысле
главного значения при z z j .
В результате получаем СЛАУ:
iw j w j 1 w j 1 w j ln
z j 1 z j
z j 1 z j
N
m 1
m j
m j 1
wm 1
z j zm wm 1 z j zm 1 wm zm 1 z j
wm
ln
zm 1 zm zm z j
zm 1 zm
.
11

12.

После нахождения значения функций тока и
потенциала скорости на всей границе D
требуется вычислить компоненты скорости
вектора скорости. Из условия Коши-Римана
получаем, что
Ux
, Uy
, U x iU y w z
x x
y
x
Для нахождения производных
использовалось приближение функций
комплексного потенциала полиномом
Лагранжа.
12

13. Тестовые решения

Были проведено тестирование КМГЭ и
алгоритма нахождения компонента вектора
скорости методом пробных функций.
Контроль точности вычислений и проверка
правильности решения алгоритма по
времени была проведена на основе
законов сохранения массы и полной
энергии.
13