ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
Вопрос 1. Логарифмическое дифференцирование
Вопрос 2. Дифференцирование функций, заданных неявно
2.2. Дифференцирование неявных функций
Вопрос 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически
3.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Вопрос 4. Производные высших порядков
4.2. Производные высших порядков неявных функций
4.3. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
440.00K
Категория: МатематикаМатематика

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

1. Логарифмическое дифференцирование.
2. Дифференцирование функций, заданных
неявно.
3. Дифференцирование функций, заданных
параметрически.
4. Производные высших порядков.

2. Вопрос 1. Логарифмическое дифференцирование

Пусть у = lnu, где u = φ(х) - дифференцируемая
функция.
Применяя правило дифференцирования
сложной функции, получим
/
u
1
y /x (ln u ) /x u /x или y /x x .
u
u

3.

Таким образом, имеем
(ln
u ) /x
u
u
или
(ln
( x )) /x
( x )
( x )
Производная (ln ( x )) /x называется
логарифмической производной функции
u = φ(х).
(1)

4.

О.1.1. Операция, состоящая в
последовательном применении к функции
сначала логарифмирования (по основанию е), а
затем дифференцирования, называется
логарифмическим дифференцированием, а
ее результат - логарифмической производной
данной функции.
О.1.2. Степенно-показательной функцией
(показательно-степенной или сложной
показательной) называется функция вида
у = uv, где u = u(х) и v = v(х) - заданные
дифференцируемые функции от х.

5.

Найдем производную данной функции
логарифмическим дифференцированием:
lny = vlnu.
Отсюда по формуле (1) получим
y
u
(ln y) ( v ln u ) v ln u v ,
y
u
откуда
u
y y( v ln u v ).
u

6.

Подставив у = uv, получим
u
y u ( v ln u v ) u v ( v ln u vu 1u )
u
v
или
(u v ) u v ( v ln u vu 1u )
Замечание
Производная степенно-показательной функции
состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое
получается, если функцию дифференцировать как
степенную функцию, считая v = const, а u переменной; а второе слагаемое – если функцию
дифференцировать как показательную функцию,
считая u = const, а v - переменной от x.

7.

Логарифмическое дифференцирование может
быть применено для отыскания производных
не только степенно-показательных функций, но
и таких, непосредственное
дифференцирование которых громоздко
(произведение большого числа сомножителей,
радикалы, дроби и т.д.).

8.

Пример 1. Найти у′, если y x
sin x
.
Решение
Прологарифмируем данную функцию:
ln y sin x ln x,
y
1
(ln y) (sin x ln x ) cos x ln x sin x .
y
x
Отсюда
1
1
sin x
y y(cos x ln x sin x ) x (cos x ln x sin x )
x
x
x
sin x
cos x ln x x
sin x 1
sin x.
Если воспользоваться выражением (1), то
получится такой же результат.

9.

2
x 1 x 1
.
Пример 2. Найти у′, если y
3 x
x 4 e
Решение
Прологарифмируем данную функцию:
1
ln y 2 ln x 1 ln x 1 3 ln x 4 x;
2
y
2
1
3
1.
y x 1 2 x 1 x 4
Умножая на у и подставляя его значение,
получим:
x 1 2 x 1 2
1
3
y
1 .
3 x
x 4 e x 1 2 x 1 x 4

10. Вопрос 2. Дифференцирование функций, заданных неявно

2.1. Неявное задание функции
О.2.1.Если функция задана уравнением у = f(х),
разрешенным относительно у, то говорят, что
функция задана в явном виде (явная функция).
О.2.2.Под неявным заданием функции
понимают задание функции у в виде уравнения
F(x,y) = 0,
(2)
не разрешенного относительно у.

11.

Всякую явно заданную функцию у = f(х) можно
записать как неявно заданную уравнением
у ‒ f(х) = 0,
но не наоборот.
Чтобы выразить функцию у из уравнения (2),
необходимо разрешить данное уравнение
относительно у. В общем случае, при заданном
х, уравнение (2) может иметь несколько корней
у, т.е. неявная функция может быть
многозначной.

12.

Пример 3. х2 + у2 = 1 - неявная функция
y 1 x .
2
Не всегда легко, а иногда и невозможно,
разрешить уравнение (2) относительно у.
Пример 4. у + 2ух = 0 - нельзя явно выразить у
через х.

13. 2.2. Дифференцирование неявных функций

Пусть неявная функция у задана уравнением (2)
F(x,y) = 0, не разрешенным относительно у.
Правило дифференцирования неявной функции
Для того чтобы найти производную неявной функции,
заданной уравнением (2), нужно
продифференцировать уравнение (2), помня, что у
является функцией от х и его производная равна у′.
Затем разрешить полученное уравнение относительно
у′.
Производная неявной функции выражается через
аргумент х и функцию у, т.е. сама является функцией
неявной.

14.

Пример 5. Найти производную функции у,
заданной уравнением х3 + у3 ‒ 3ху = 0.
Решение
Дифференцируем данное уравнение по х, помня,
что у есть функция от х, т.е. у = f(х). В результате
получим:
3х 3у у 3(1 у х у ) 0,
2
2
3х 3у у 3у 3ху 0,
2
2
2
3х 3у у (3у 3х ) 0.
2
у х
.
Откуда y 2
y х
2

15. Вопрос 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

3.1. Параметрическое задание функции
О.3.1.Параметрическим заданием функции у = f(х)
называется определение данной функции в виде
системы двух уравнений относительно новой
промежуточной переменной t, называемой
параметром:
x х ( t )
(3)
y
у
(
t
)
Выражение непосредственной зависимости у от х
(у = f(х)) может быть получено путем исключения
параметра t из уравнений (3).

16.

Пример 6.
x a cos t
1)
окружность x 2 y 2 a 2 ;
y а sin t
2
2
x a cos t
x
y
2)
эллипс 2 2 1.
a
b
y b sin t
Здесь 0 t 2 .

17. 3.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и
функцией у задана параметрически в виде
системы двух уравнений (3), где t - параметр.
Т.3.1. (дифференцирование функции, заданной
параметрически)
Если функция у от аргумента х задана
параметрически системой (3), где функции х(t) и
у(t) дифференцируемы, причем х′(t) 0, то
производная этой функции выражается формулой
/
y
y /x t/
xt
или
y /x
у ( t )
х ( t )

18.

x t 3
Пример 7. Пусть
. Найти у′х.
y t 2
Решение
y /t
2t,
x /t
3t
2
y t
2t
2
y x
y x 2 .
x t
3t
3t

19. Вопрос 4. Производные высших порядков

Производная у′ = f′(х) функции у = f(х) есть так же
функция от х и называется производной первого
порядка или первой производной. Возможно, что
эта функция сама имеет производную.
О.4.1. Производная от первой производной
функции у = f(х) называется производной второго
порядка или второй производной данной
функции и обозначается одним из символов
d 2 y d 2f x
y , f x , 2 ,
.
2
dx
dx

20.

Таким образом
/
y y f x f x .
О.4.2. Производная от второй производной
функции у = f(х) называется производной третьего
порядка или третьей производной данной
функции и обозначается одним из символов
d 3 y d 3f x
y , f x , 3 ,
.
3
dx
dx
Таким образом
/
y y f x f x .

21.

Производные, начиная со второй, называются
производными высших порядков.
О.4.3. Производная от (n‒1)-й производной
функции у = f(х) называется производной n-го
порядка или n-й производной данной функции
и обозначается одним из символов
n
n
d
y
d
f x
(n)
(n)
y , f x , n ,
.
n
dx
dx
Таким образом
y
(n)
y
f
( n 1) /
( n 1)
x f (n ) x .

22.

Начиная с производной 4-го порядка,
производные обозначают римскими цифрами
или числами в скобках.
Пример 8. уV или у(5) - производная 5-го порядка.
Для некоторых элементарных функций можно
вывести формулы нахождения производных
любого порядка.

23.

Пример 9. Найти производную n-го порядка
функции у = ах.
Решение
y а x ln а ,
y а x ln 2 а ,
y а x ln 3 а ,
........................
y n а x ln n а.

24.

Механический (физический) смысл
второй производной
Пусть материальная точка движется
прямолинейно по закону S = S(t). Известно, что
ʋ = S′(t) - скорость точки в данный момент
времени t.
Можно показать, что вторая производная от
пути по времени есть величина ускорения
прямолинейного движения точки, т.е.
d2S
a S ( t ) 2
dt

25. 4.2. Производные высших порядков неявных функций

Пусть неявная функция у задана уравнением (2), т.е.
F(x,y) = 0.
Продифференцировав уравнение (2) по х и разрешив
полученное уравнение относительно у′, найдем
первую производную. Продифференцировав по х
первую производную, получим вторую производную у″
от неявной функции. В нее войдут х, у и у′. Подставляя
уже найденное значение у′ в выражение второй
производной, выразим у″ через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения третьей
производной и т.д.

26.

Пример 10. Найти у‴, если х2 + у2 = 1.
Решение
F(x,y) = 0 х2 + у2 ‒ 1= 0.
у : 2х 2 уу 0
х
у .
у
х
у х
у
1 у ху
у2 х 2
1
у : у
у2
у2
у3
у3
х
3
у


4
у : у ( 3у ) у 4
у
у4
у5
у
у

.
5
у
1
.
3
у

27. 4.3. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f(х) задана параметрически в
виде системы уравнений (3):
x х ( t )
y у( t )
Первая производная у′х находится по формуле
y t
y x .
x t
(4)

28.

Найдем вторую производную у //хх от функции,
заданной параметрически.
Из определения второй производной и
равенства (4) следует, что
/ /
(
у
//
/ /
х )t
у хх ( у х ) х
.
/
xt
Таким образом,
у //хх
( у /х ) /t
x /t
Аналогично получаются формулы:
// /
(
у
///
хx ) t
у ххx
,......
/
xt

29.

Пример 11. Найти вторую производную функции
x cos t ,
y sin t.
Решение
y t (sin t )
cos t
y x
ctgt ,
x t (cos t ) sin t
у //хх
1
/ /
2
( у х ) t ctgt
1
sin
t
3 .
/
sin t
sin t
xt
sin t
English     Русский Правила