Обратная функция

1.

2. Обратная функция

3.

Цели обучения:
10.3.1.5 - знать определение обратной функции и уметь находить
функцию, обратную заданной и знать свойство расположения
графиков взаимно обратных функций;

4.

Критерии оценивания:
Учащийся
1. Знает определение обратной функции;
2. Знает особенность расположения графиков
взаимно обратных функций;
3. Находит функцию, обратную заданной.

5.

ПОВТОРЕНИЕ
1.По рисункам определите монотонность функции

6.

Если функция у = f ( х ), х € Х принимает каждое своё
значение у только при одном значении х из Х, то эту
функцию называют обратимой.
Т.е. разным значениям аргумента соответствуют разные
значения функции
у 2х 2
у х2
1
у 2
х
у х
3
х1 у
х2 у

7.

Теорема. Если функция у=f(x) строго монотонна на
множестве Х., то она обратима
Пусть у = f(x) – обратимая функция. Тогда каждому у из
множества значений функции соответствует одно
определённое число х из области её определения, такое, что
f(x) = y. Это соответствие определяет функцию х от у,
которую обозначим х = g(y). Поменяем местами х и у:
у = g(x).
Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x).

8.

Функция у = f(x) обратима на некотором интервале (a; b)
тогда и только тогда, когда она на этом интервале
взаимно однозначна.
Алгоритм нахождения обратной
функции:
1. Заменяем х на у
2. Выражаем у
3. Получаем функцию у = g(x), обратную функции у = f(x).
Примечание: иногда обратную функцию обозначают:
1
y f ( x)

9.

Пример
1
х 2
Найти функцию, обратную данной, т.е. у = f -1(x).
Решение:
1
x
y 2
Дано: у
хy 2 x 1
хy 2 x 1
Ответ:
1
у 2
х
f 1 ( x) 2
1
x
или g ( x) 2
1
x

10.

ВТОРОЙ СПОСОБ
Алгоритм нахождения обратной
функции:
1. Выражаем х на у
2. Меняем местами у и х
3. Получаем функцию у = g(x), обратную функции у = f(x).

11.

Пример
1
х 2
Найти функцию, обратную данной, т.е. у = f -1(x).
Решение:
Дано: у
1
у 2
х
Ответ:
f 1 ( x) 2
1
x
или g ( x) 2
1
x

12.

13.

1) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные
функции. Область определения функции f совпадает с
областью значений функции g, и наоборот, область
значений функции f совпадает с областью определения
функции g.
2) Монотонность. Если одна из взаимно обратных
функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное
верно и для убывающих функций.
3) Графики. Графики взаимно обратных функций,
построенные в одной и той же системе координат,
симметричны друг другу относительно прямой y = x.