Взаимно обратные функции

1. Взаимно обратные функции

Векслер Е. В. 2009-2010

2. № 128 ( Домашняя работа)

1
2)
у х 1

3. № 128 ( Домашняя работа)

4) у ( х 1)
2

4. № 128 ( Домашняя работа)

6)
у
2
х
2

5.

Проверочная работа
1 вариант
1. Изобразить схематически график
функции и указать ее область
определения и множество значений
у х
у х
у х
6
1
2
3
2 вариант
1. Изобразить схематически график
функции и указать ее область определения
и множество значений
у х
у х
у х
5
1
3
2

6.

Проверочная работа
1 вариант
2 вариант
2. Сравнить
2. Сравнить
3,1 и 4,5
7,2
(2 3 )
0,3
7 , 2
7,2
и (4 2 )
3,1
0,3
и 4,5
7 , 2
(2 3 ) и (4 2 )
0,3
0,3

7. Взаимно обратные функции

Выразить
переменную r из формулы S r
2
переменную а из формулы Р 2(а в)
V V0
переменную V из формулы а
t
A
перемнную А из формулы N
t

8. Как построить фигуру, симметричную относительно некоторой прямой? Перечертите по клеточкам и выполните осевую симметрию.

9.

Прямая
Задача.
Обратная
у = f (x), у - ?
Найти значение у при заданном
значении х.
Задача.
у = f (x), х - ?
Найти значение х при заданном
значении у.
Дано: у = 2х + 3
Найти: у (5)
Решение:
у (5) = 2 · 5 + 3 = 13
Ответ: у (5) = 13
Дано: у = 2х + 3, у (х) = 42
Найти: х
Решение:
42 = 2х + 3
2х = 39
х = 19,5
Ответ: у (19,5) = 42

10.

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение
у только при одном значении х, то эту функцию называют
обратимой.
у х2
у 2х 2
1
у 2
х
у х
3
х1
х 0
у
х2 у
х 0
каждому у из множества значений функции соответствует одно
определённое число х из области её определения,
Функцию у = f(x) называют обратимой, если каждое свое значение она
принимает только при одном значении х.

11. Понятие обратной функции.

Обратная функция — функция, обращающая
зависимость, выражаемую данной функцией.

12. Теорема 1.

Если функция y = f(x) монотонна на промежутке X, то
она обратима.
у 2х 2
1
у 2
х
у х3

13.

Дано:
1
у
х 2
Найти функцию, обратную данной
Решение:
1
у
х 2
1
х 2
у
1
х 2
у
Ответ:
1
f ( x) 2
x
1
1
у 2
х
у = f -1(x).

14.

Дано:
v(t ) v0 gt
Найти:
t(v)= – ?
Обратимая функция
Решение:
v0 gt v
gt v0 v
v0 v
t
g
, т.е.
v0 v
t (v )
g
Обратная функция к v(
t)

15.

1. Область определения обратной функции f -1
совпадает с множеством значений исходной f, а
множество значений обратной функции f -1
совпадает с областью определения исходной
функции f:
D(f -1) = E(f), E(f -1) = D(f).
2. Монотонная функция является обратимой:
если функция f возрастает, то обратная к ней
функция f -1 также возрастает;
если функция f убывает, то обратная к ней
функция f -1 также убывает.

16.

3. Если функция имеет обратную, то график
обратной функции симметричен графику данной
функции относительно прямой у = х.
у
(х0;у0)
у=х
у0
(у0;х0)
0
х0
х

17.

у=5х+2
у=х
у=0,2(х-2)

18.

у
у=f(x)
y=x2,х<0
3
-2
0
у
у=g(x)
3
х
0
х
-2
у х
1. D(y)=(-∞;0]
1. D(y)=[0;+∞)
1. D(f)=R
1. D(g)=R
2. E(y)=[0;+∞)
2. E(y)=(-∞;0]
2. E(f)=R
2. E(g)=R
3. убывающая
3. убывающая
3. возрастающая 3. возрастающая

19.

Построить график функции, обратной данной.
у
у
1
1
0
1
х
0
1
х
у х3
Дано: у = х3
у
у 3 х
Построить график
функции, обратной к
данной.
Решение:
х3 у
х 3 у у 3 х
0
х

20. Найдите функции, обратные данным. Укажите их область определения и множество значений

1
у 5х 2
у х 1
2. возрастающая
5
1. D(у)=R E(у)=R
1. D(у) х>0
1
у
х
у 7х
2. E(у)
y>0
3. убывающая
3
1. D(у)=R
2. E(у)=R
3. возрастающая
1
у
х
х
у 3
7
1. D(у)=R E(у)=R
2. возрастающая
1. D(у) х>0
2. E(у)
y>0
3. убывающая
1. D(у)=R
2. E(у)=R
3. возрастающая

21. Найдите функции, обратные данным. Укажите их область определения и множество значений

у х 1
2
1. D(у)=R
2. При
E(у): у
х 0
1
у
1
1. D(у)
х 1
E(у)
х 1
у 0
2. возрастающая
возрастающая
3. При
х 0
убывающая
у
1
х 1
1. D(у)
E(у)
х 1
у 0
2. убывающая

22. Найдите функции, обратные данным. Укажите их область определения и множество значений

у х
1. D(у)=R
2. При
6
E(у):
х 0
возрастающая
у 0
1. D(у)
E(у)
у 1 6 х
2. возрастающая
1. D(у)
3. При
х 0
убывающая
у 1 6 х
х 0
у 0
E(у)
х 0
у 0
2. убывающая