Взаимно обратные функции

1.

y
Если каждому значению х из некоторого множества
действительных чисел поставлено в соответствие
по определённому правилу f число у, то, говорят,
что на этом множестве определена функция.
y = f(x)
E( f )
0
х
x
D( f )
900igr.net

2.

Прямая
Задача.
Обратная
у = f (x), x - !
Найти значение у при заданном
значении х.
Задача.
у = f (x), у- !
Найти значение х при заданном
значении у.
Дано: у = 2х + 3
Дано: у = 2х + 3, у (х) = 42
Найти: у (5)
Найти: х
Решение:
Решение:
у (5) = 2 · 5 + 3 = 13
42 = 2х + 3
Ответ: у (5) = 13
2х = 39
х = 19,5
Ответ: у (19,5) = 42

3.

Дано:
v(t ) v0 gt
Найти:
t–?
Решение:
v0 gt v
gt v0 v
v0 v
t
g
, т.е.
v0 v
t (v )
g
Обратимая функция
Обратная функция к v(
t)

4.

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение
у только при одном значении х, то эту функцию называют
обратимой.
у 2х 2
1
у 2
х
у х
3
у х2
х1 у
х2 у
Пусть у = f(x) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества
значений функции соответствует одно определённое число х из области
её определения, такое, что f(x) = y. Это соответствие определяет
функцию х от у, которую обозначим х = g(y). Поменяем местами х и у:
у = g(x).
Функцию у = g(x) называют обратной к функции у = f(x).

5.

Дано:
1
у
х 2
Найти функцию, обратную данной
Решение:
1
у
х 2
1
х 2
у
1
х 2
у
Ответ:
1
f ( x) 2
x
1
1
у 2
х
у = f -1(x).

6.

у
у
у
у 2
1
х 2
1
х
2
0
2
х
0
1. D(у)=(-∞;2)∪(2;+∞)
1. D(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)
2. Е(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)
2. Е(у)=(-∞;2)∪(2;+∞)
х

7.

1. Область определения обратной функции f -1
совпадает с множеством значений исходной f, а
множество значений обратной функции f -1
совпадает с областью определения исходной
функции f:
D(f -1) = E(f), E(f -1) = D(f).
2. Монотонная функция является обратимой:
если функция f возрастает, то обратная к ней
функция f -1 также возрастает;
если функция f убывает, то обратная к ней
функция f -1 также убывает.

8.

3. Если функция имеет обратную, то график
обратной функции симметричен графику данной
функции относительно прямой у = х.
у
(х0;у0)
у=х
у0
(у0;х0)
0
х0
х

9.

у
у=f(x)
y=x2,х<0
3
-2
0
у
у=g(x)
3
х
0
х
-2
у х
1. D(y)=(-∞;0]
1. D(y)=[0;+∞)
1. D(f)=R
1. D(g)=R
2. E(y)=[0;+∞)
2. E(y)=(-∞;0]
2. E(f)=R
2. E(g)=R
3. убывающая
3. убывающая
3. возрастающая 3. возрастающая

10.

Построить график функции, обратной данной.
у
у
1
1
0
1
х
0
1
х
у х3
Дано: у = х3
у
у 3 х
Построить функцию,
обратную к данной.
Решение:
х3 у
х 3 у у 3 х
0
х