Решение логарифмических уравнений

1. Тренинг «РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

ТРЕНИНГ
«РЕШЕНИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ»
Начало
Лицей «СИНТОН»
2011 - 2012

2. Уважаемые учащиеся, данная презентация поможет Вам систематизировать методы решения логарифмических уравнений.

УВАЖАЕМЫЕ УЧАЩИЕСЯ,
ДАННАЯ ПРЕЗЕНТАЦИЯ ПОМОЖЕТ
ВАМ
СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
НАВИГАЦИЯ
МЕЖДУ
ПОМОЩЬЮ
УПРАВЛЯЮЩИХ
СЛАЙДАМИ
ОСУЩЕСТВЛЯЕТСЯ
КНОПОК.
ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ СОЗДАН СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ.
ТОЛЬКО
КАЖДОГО
ПОСЛЕ
УРАВНЕНИЯ ВЫ СМОЖЕТЕ ПРОВЕРИТЬ СВОЁ РЕШЕНИЕ.
ВИДА
РЕШЕНИЯ
УСПЕХОВ В ВЫПОЛНЕНИИ РАБОТЫ!!!
Начать
С

3.

ПОЖАЛУЙСТА, ВЫБЕРИТЕ ВИД УРАВНЕНИЙ, РЕШЕНИЯ
КОТОРЫХ ВЫ ХОТИТЕ ПОВТОРИТЬ
Уравнения вида:
log a f ( x) b, a 0, a 1
log a f ( x) log a g ( x), a 0, a 1
log f ( x ) A log g ( x ) A, A 0
log g ( x ) f ( x) b
log a f ( x) log a g ( x) log a m( x), a 0, a 1
log a ( x) log a ( x) log a f ( x) log a g ( x), a 0, a 1
1
log a f ( x) log a g ( x), a 0, a 1
2
Приведение к новому основанию
Уравнения смешанного вида
Закончить работу

4. Решите уравнения:

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
log 2 x 4 x 3 3
2
lg 2 x 5 0
2
Справочный материал
Решение
Решение
Содержание

5.

log 2 x 4 x 3 3
2
x 4x 3 2
2
3
x 4x 3 8 0
2
x 4x 5 0
2
x1 1
x 2 5
Ответ : 5;1
Уравнения

6.

lg 2 x 5 0
2
2 x 5 10
2
2 x 5 1
2
0
2 x 5 1 или 2 x 5 1
x 3
Ответ : 2;3
x 2
Уравнения

7. Решите уравнения:

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
log 3 x 4 x 3 log 3 3x 21
2
2 x 2 54
ln
ln x 4
x 3
x2 5
lg
lg x
x 2
Справочный материал
Решение
Решение
Содержание
Решение

8.

log 3 x 4 x 3 log 3 3 x 21
2
3 x 21 0
x 7
2
2
x 4 x 3 3 x 21 x 7 x 18 0
x 7
x 2
x 2
x 9
x 9
Ответ : 2;9
Уравнения

9.

2 x 2 54
ln
ln x 4
x 3
x 4 0
x 4
2
2
2 x 54 x 4 x 3
2 x 54
x 4
0
x 3
x 3
x 4
x 4
2
x 7 x 6
x 6
x x 42
0
0
x 3
x 3
Ответ : 6
Уравнения

10.

x 5
lg
lg x
x 2
x 0
x 0
x 0
2
2
x 5
2
x
x 2,5
x 5 x 2x
x 2
Ответ : корней нет
2
Уравнения

11. Решите уравнения:

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
log 2 x 6 13 log x 13
Решение
log x 2 2 17 log x 17
Решение
Справочный материал
Содержание

12.

log 2 x 6 13 log x 13
2 x 6 0
x 3
2 x 6 1 x 3,5 x 6
2 x 6 x
x 6
Ответ : 6
Уравнения

13.

log x 2 2 17 log x 17
x 0
x 0
x 1
x 1
x 2 5x 4 0
2
x 2 x
x 0
x 4
x 1
x 1, x 4
Ответ : 4
Уравнения

14.

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
2 x 3x 4 2
log x 1 x 3 x 1 1
log x
2
2
Справочный материал
Решение
Решение
Содержание

15.

log x 1 x 3 x 1 1
2
x 1 0
x 1
x 0
x 1 1
x 2 3x 1 x 1 x 2 4 x 0
x 1
x 4
x 0
x x 4 0
Ответ : 4
Уравнения

16.

log x 2 x 3 x 4 2
2
x 0
x 0
x 1
x 1
2 x 2 3 x 4 x 2
x 2 3x 4 0
x 0
x 0
x 1
x 4
x 1
x 4 x 1 0
x 4, x 1
Ответ : 4
Уравнения

17.

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
log 3 x 2 log 3 x log 3 8
Решение
log 0, 4 x 2 log 0, 4 x 3 log 0, 4 1 x
Решение
Справочный материал
Содержание

18.

log 3 x 2 log 3 x log 3 8
x 2 0
x 2
x 0
x 0
log x 2 x log 8 x x 2 8
3
3
x 2
x 2
x 4 x 4
2
x 2x 8 0
x 2
Ответ : 4
Уравнения

19.

log 0, 4 x 2 log 0, 4 x 3 log 0, 4 1 x
x 2 0
x 2
x 3 0
x 3
1 x 0
x 1
log 0, 4 x 2 x 3 log 0, 4 1 x x 2 x 3 1 x
2 x 1
2 x 1
x 5 x 1
2
x 6x 5 0
x 1
Ответ : 1
Уравнения

20. Решите уравнения:

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
log 7 x 2 log 7 x 2 1 log 7 2 x 7
Решение
ln x 4 ln 7 x ln x 7
Решение
Справочный материал
Содержание

21.

log 7 x 2 log 7 x 2 1 log 7 2 x 7
log 7 x 2 log 7 2 x 7 1 log 7 x 2
x 2
x 2 0
x 3,5
2 x 7 0
x 2 0
x 2
log 7 x 2 2 x 7 log 7 7 x 2 2 x 2 11x 14 7 x 14
x 3,5
x 3,5
x 3,5
2
x 0 x 9
2 x x 9 0
2 x 18 x 0
x 9
Ответ : 9
Уравнения

22.

ln x 4 ln 7 x ln x 7
ln x 4 ln x 7 ln 7 x
x 4 0
x 7 0
7 x 0
ln x 4 x 7 ln 7 x
x 4
x 7
x 7
x 4 x 7 7 x
Уравнения
Ответ : корней нет

23. Решите уравнения:

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
2 log 2 x log
2
x log 1 x 9
2
log 3 x 1 2 log x 3
Справочный материал
Решение
Решение
Содержание

24.

2 log 2 x log
2
x log 1 x 9
2
ОДЗ : x 0
2 log 2 x log
1
22
x log 2 1 x 9
2 log 2 x 2 log 2 x log 2 x 9
3 log 2 x 9
log 2 x 3
x 23 8
Ответ : 8
Уравнения

25.

log 3 x 1 2 log x 3
ОДЗ : x 0, x 1
2
log 3 x 0
log 3 x 1
log 3 x
log 23 x log 3 x 2 0
пусть log 3 x t
t2 t 2 0
x 3
log 3 x 1
t 1
1
t 2
x
log 3 x 2
9
1
Ответ : ;3
9
Уравнения

26.

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
1
lg x lg x 1
2
Решение
log 0,5 x 0,5 log 0,5 2 x x
Справочный материал
2
Решение
Содержание

27.

1
lg x 1
2
2 lg x lg x 1
lg x
x 0
x 0
2
2
lg x lg x 1
x x 1
x 0
1 5
1 5
x
x
2
2
x 1 5
2
x 0
2
x x 1 0
1 5
Ответ :
2
Уравнения

28.

log 0,5 x 0,5 log 0,5 2 x x
2
2 log 0,5 x log 0,5 2 x 2 x
2
x 0
x
2
x 2 x 1 0
2
2
2
x
x 0
x 2x x
x 0
x 0,5
x 1
x 0
x 1
Ответ : 1
Уравнения

29.

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ:
x
log2 x 2
1
x
4
1
log2 x
2
8
2
Справочный материал
1
log22 x
4
Решение
Решение
Содержание

30.

x log2 x 2 8
ОДЗ : x 1, x 0
Обе части уравнения положительны на ОДЗ. Пролагорифмируем их
по основанию 2. Получим равносильное уравнение.
log 2 x log2 x 2 log 2 8
log 2 x 2 log 2 x 3
log 22 x 2 log 2 x 3 0
Замена : t log 2 x
t 2 2t 3 0
x 2
1
x
log
1
t
2
1
t 3 log x 3
x
2
8
1
Ответ : ;2
8
Уравнения

31.

1
1
log22 x
1 2 log2 x
x
24
4
ОДЗ : x 1, x 0
Обе части уравнения положительны на ОДЗ. Пролагорифмируем их
по основанию 2. Получим равносильное уравнение.
1 1
1
log 22 x log 22 x
4 2
4
log 22 x 8
log 2
log 2 x 2 2
x 4 2
log 2 x 2 2
x 4 2
log 2 x 2 2
Ответ : 4
2
Уравнения

32. Для уравнения вида

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА
log a f ( x) b, a 0, a 1
ПОЛУЧАЕМ РАВНОСИЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ
f ( x) a
Уравнения
b
Содержание

33. Для уравнения вида

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА
log a f ( x) log a g ( x), a 0, a 1
ПОЛУЧАЕМ РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
Уравнения
ИЛИ
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
Содержание

34. Для уравнения вида

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА
log f ( x ) A log g ( x ) A, A 0
ПОЛУЧАЕМ РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
f ( x) 1
Уравнения
ИЛИ
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
g ( x) 1
Содержание

35. Для уравнения вида

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА
log g ( x ) f ( x) b
ПОЛУЧАЕМ РАВНОСИЛЬНУЮ
СМЕШАННУЮ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
g ( x) 1
b
Уравнения
Содержание

36. Для уравнения вида

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА
log a f ( x) log a g ( x) log a m( x), a 0, a 1
ПОЛУЧАЕМ РАВНОСИЛЬНУЮ СИСТЕМУ
УРАВНЕНИЙ
log a f ( x) g ( x) log a m( x)
f ( x) g ( x) m( x)
g ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) 0
f ( x) 0
m( x) 0
m( x) 0
Уравнения
Содержание

37. Для уравнения вида

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА
log a ( x) log a ( x) log a f ( x) log a g ( x), a 0, a 1
log a ( x) log a g ( x) log a f ( x) log a ( x), a 0, a 1
ПОЛУЧАЕМ РАВНОСИЛЬНУЮ СИСТЕМУ
УРАВНЕНИЙ
log a ( x) g ( x) log a f ( x) ( x) ( x) g ( x) f ( x) ( x)
g ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) 0
f ( x) 0
( x) 0
( x) 0
( x) 0
( x) 0
Уравнения
Содержание

38. Для уравнения вида

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВИДА
1
log a f ( x) log a g ( x), a 0, a 1
2
ПОЛУЧАЕМ РАВНОСИЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
log a f ( x) 2 log a g ( x), a 0, a 1
КОТОРОЕ РАВНОСИЛЬНО СИСТЕМЕ
УРАВНЕНИЙ
f ( x) g 2 ( x)
g ( x) 0
Уравнения
Содержание

39. Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию.

ЕСЛИ
В
УРАВНЕНИИ
СОДЕРЖАТСЯ
ЛОГАРИФМЫ
С
РАЗНЫМИ ОСНОВАНИЯМИ, ТО ПРЕЖДЕ ВСЕГО СЛЕДУЕТ
СВЕСТИ ВСЕ ЛОГАРИФМЫ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ. ДЛЯ
ЭТОГО ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ
ОСНОВАНИЮ.
log c b
log a b
, a 0, a 1, c 0, c 1, b 0
log c a
ИЛИ ДРУГИЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМА:
log a k
1
b log a b, a 0, a 1, b 0, k 0
k
Уравнения
Содержание

40. Иногда целесообразно логарифмировать обе части уравнения, чтобы свести его решение к одному из простейших уравнений. Как

ИНОГДА
ЦЕЛЕСООБРАЗНО
ЛОГАРИФМИРОВАТЬ
ОБЕ
ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ, ЧТОБЫ СВЕСТИ ЕГО РЕШЕНИЕ К
ОДНОМУ ИЗ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ. КАК ПРАВИЛО,
ЭТО
ПРИХОДИТСЯ
ДЕЛАТЬ
ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННОГО
ТИПА,
СОДЕРЖАЩИХ
КАК
ПОКАЗАТЕЛЬНУЮ, ТА И ЛОГАРИФМИЧЕСКУЮ ФУНКЦИИ
x
loga x
b, a 0, a 1, x 0, x 1
log a x
loga x
Уравнения
log a b
Содержание