Свойства пространства-времени и интегралы состояния квантовой системы: момент импульса

1.

Лекция 15
СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
И ИНТЕГРАЛЫ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВОЙ
СИСТЕМЫ: МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

2.

3.Изотропия пространства. Момент импульса
Изотропия (иначе – изотропность) пространства
означает, что все направления в нем
эквивалентны.
Слева – пространство изотропно, справа – анизотропно.
Если пространство обладает свойством изотропии, то
поворот системы в нем на произвольный угол не меняет
ее состояния. Состояние микросистемы определяется ее
гамильтонианом Hˆ , поэтому, как следствие, оператор
поворота (обозначим его Oˆ ) должен с ним
rot
коммутировать:
Hˆ Oˆrot = Oˆrot Hˆ .
(15.1)

3.

Получим вид оператора Oˆrot . Пусть система состоит из N
микрочастиц и каждая из них находится в точке с
координатой r j (j = 1, 2, …, N). При повороте системы на
некоторый угол δφ все координаты получат различные
приращения δr j ( j = 1, 2, …, N), величина которых будет
определяться углом δφ (при параллельном переносе
величина приращения не зависела от j). В соответствии с
этим, волновая функция системы будет преобразовываться
следующим образом (как и раньше, принимаем, что
δr j
r j , j = 1, 2, …, N):
Ψ( r1 , r2 , ..., rN ) Ψ( r1 + r1, r2 + r 2 , ..., rN + r N ) =
N
∂
Ψ
= Ψ( r1 , r2 , ..., rN ) +
r j + ...
rj
j =1 ∂
N
∂
( 1 + δr j
) Ψ( r1 , r2 , ..., rN ) = Oˆ rotΨ( r1 , r2 , ..., rN )
∂
rj
j =1
,

4.

где оператор Oˆrot имеет вид:
N
N
∂
ˆ
Orot 1 + δr j
1 + δr j ∇j .
∂
r
j =1
j =1
j
Подставляя этот оператор в (15.1), получаем:
N
N
j =1
j =1
Hˆ ( r j ∇j ) = ( r j ∇j ) Hˆ .
(15.2)
Как известно, если некоторый оператор коммутирует с
гамильтонианом, то должен быть соответствующий этому
оператору интеграл состояния. Дадим определение:
физическая величина, сохранение которой есть
следствие изотропии пространства, называется
моментом импульса,
или моментом количества движения.
Из этого определения и коммутационного соотношения
(15.2) следует, что оператор момента импульса системы
микрочастиц должен быть пропорционален оператору
N
δr j ∇j . Выразим
j =1
δr j через вектор r j и угол поворота δφ.

5.

Для этого сам поворот охарактеризуем вектором ,
который перпендикулярен плоскости поворота и при этом
. Тогда δr j = δφ× r j ((×) – знак векторного
произведения). Далее для скалярного произведения
получаем:
δr j ∇j (δφ×r j ) ∇j δφ (r j ×∇j ) .
(15.3)
Здесь мы воспользовались свойством смешанного
произведения трех векторов, позволяющим делать в нем
их циклическую перестановку. Подставляя (15.3) в (15.2),
вынося из под знака суммы и убирая вектор , получим:
N
N
j=1
j=1
Hˆ [ ( r j ×∇j ) ] = [ ( r j ×∇j ) ] Hˆ .

6.

В соответствии с данным выше определением оператором
ˆ
момента импульса системы L следует назвать оператор
N
Lˆ const
( r j ×∇j ) =
j =1
N
ˆ
Lj ,
j =1
(15.4)
ˆ
а L = const( r ×∇) - оператором момента импульса отдельной
частицы. Из (15.4) видно, что оператор момента импульса
ˆ
системы L аддитивен, а потому и сам момент импульса
системы тоже будет обладать этим свойством, как и
наблюдается. В операторе момента импульса частицы
можно положить: const = -i
. Тогда оператор
Lˆ
Lˆ
примет
ˆ
ˆ
уже известный нам вид: L = r × p , где p̂ = -i ∇ - оператор
импульса.
На практике обычно используются операторы
оператор квадрата момента импульса
Lˆx , Lˆy , Lˆz
Lˆ2 = Lˆx2 + Lˆ2y + Lˆz2
и
.

7.

Операторы проекций момента импульса не коммутируют
друг с другом:
Lˆx Lˆy - Lˆy Lˆx = i Lˆz ; Lˆy Lˆz - Lˆz Lˆy = i Lˆx ; Lˆz Lˆx - Lˆx Lˆz = i Lˆy .
ˆ2
Однако каждый из них коммутирует с оператором
ˆ
L
ˆ
Lˆj L 2 - L 2 Lˆj = 0 , j = x, y, z.
Поскольку физически момент импульс характеризует
повороты системы, на практике более удобным является
его определение в сферической системе координат, где
используются углы θ и φ. В этой системе координат
операторы
Lˆz и Lˆ2 имеют вид (см. также ф-лы (7.7)):
∂ ˆ2
2
; L = - 2∇θ,φ
;
∂
φ
2
1
∂
∂
1
∂
.
2
∇θ,φ
=
( sinθ ) +
sinθ ∂
θ
∂
θ sin 2 θ∂
φ2
Lˆz = -i
(15.5)

8.

Используя операторы (15.5), можно найти их собственные
функции и собственные значения. Получаем: для
ˆ
оператора L z
→
LˆzΨ m( φ) = LzΨ m( φ) Lz = m ;
1
imφ
; m = 0, ±1, ±2... ;
e
Ψ m( φ) =
1/2
( 2π)
для оператора
ˆ2
L
(15.6)
:
ˆ
L2Ylm ( , ) L2Ylm ( , ) L2
2
l (l 1) ; (15.7)
Ylm ( , ) - сферическая функция;
l = 0,1, 2... - орбитальное квантовое число;
m = 0, ±1, ±2, …, ± l - магнитное (иначе - азимутальное)
квантовое число.

9.

Из формул (15.5) и (15.6) видно, что для обоих операторов
спектр дискретный, а для оператора
ˆ2
L он еще и
2
L
вырожденный. Действительно, собственные значения
зависят только от квантового числа l , тогда как
собственные функции Ylm ( , ) еще и от квантового числа
m, и кратность вырождения будет gl 2l 1 .
Сферические функции Ylm ( , ) хорошо известны в
математической физике, они широко используются при
решении задач квантовой механики. Их явный вид
довольно сложен, и мы его приводить не будем. Однако,
ввиду важности этих функций перечислим их главные
свойства, которые позволяют их применять на практике.

10.

1.Функции Ylm ( , ) - комплексные:
Ylm* ( , ) ( 1) m Yl m ( , ) .
(15.8)
2.Они ортонормированы:
2
*
Y
l ' m ' ( , )Ylm ( , )d l ' l m ' m
0 0
.
(15.9)
Здесь dΩ = sinθdθdφ – элемент телесного угла, δjk – символ
Кронекера (см. (6.2)).
2.Обладают свойством полноты, т.е. произвольную
функцию Ψ(θ, φ), удовлетворяющую стандартным
условиям, можно по представить в виде разложения
Ψ( θ,φ)
l
a
l 0 m l
alm
Ylm
( θ,φ)
lm
*
Y
(
lm θ,φ) Ψ( θ,φ)dΩ .
,
(15.10)
(15.11)

11.

3.Мнимость сферической функции и ее зависимость от угла
( φ)
φ определяется только собственной функцией Ψ m
ˆ
оператора L z , которую она содержит в виде
сомножителя:
Ylm
( θ,φ) = f lm
( θ) Ψ (m φ) ,
(15.12)
где функция от угла θ – действительная, т.е.
f lm
(* θ) = f lm
( θ) . Как следствие соотношения (15.12),
сферическая функция является собственной еще и для
ˆ
оператора L z :
ˆ Y ( , ) mY ( , ),
L
z lm
lm
m 0, 1,..., l
.
(15.13)
4.Приведем вид сферических функций низших порядков по
индексу l , часто использующихся в приложениях:
Y00 ( , )
Y1 1 ( , )
1
; Y10 ( , )
4
3
sin e i ; Y20 ( , )
8
3
cos ;
4
5 3
1
( cos 2 ).
4 2
2

12. Проверочные вопросы к лекции 15. 1. Из какого свойства пространства следует сохранение момента импульса? 2. Какое определение

можно дать моменту импульса?
3. Запишите вид оператора момента импульса?
4. Каковы коммутационные соотношения для компонент
оператора момента импульса?
5. Какие интегралы состояния (имеется ввиду момент
импульса)принято использовать для характеристики
квантовой системы?
6. Каковы спектры собственных значений и вид собственных
ˆ
функций у операторов Lˆ z и L2 ?
7. Перечислите и запишите свойства сферических функций.