Основные элементарные функции

1.

Основные элементарные функции
1) Линейная функция: y kx b
y
2) Степенная функция:
y x
четное
n a
a 11
0 a 1
n
нечетное
1
21 1 2
3) Показательная функция:
x
2 2 k tg
y a
a 0; a 1
1
-1 0
-1
1
1
х
4) Логарифмическая функция:
b2
-1 -1
2
2
2
2
y log x a 0; a 1; x 0
n
a
5) Тригонометрические функции:
y tg x
y sin x
0 a 1
y cos x
y ctg x
6) Обратные тригонометрические функции:
y arcsin x y arccos x y arctg x
y arcctg x

2.

Г)
Найти область
определения и
множество значений функции
y x 2 3x 2
у 7x 6 2
у 5 cos( 4 x 1)
3
у
x 6
y log 4 ( x 1)
y 2
у 2 arcsin 3x
y log 1 3x 4
sin x
3

3.

Исследовать на четность/нечетность
x
у xe
у x arcsin 3 x
x 1
у
x 1
1
у arctg
x
y 1 x
2
у 4 sin x 5 cos x
2
x2
у
arcsin x
у 2
x2
у x 2 sin x
y 5 lg (1 x 2 )
у x cos 3 x
y ln ( x x 2 )

4.

Найти основной период функции
у 5 cos 4 x sin 3x tg 7 x
x
x
у cos 4 sin 5 ctgx
6
2
у 3 cos 7 x 4 sin 8 x сtg3x
x
x
у 5 cos x sin 7tg
3
4

5.

Сложная функция
Если y является функцией от u, а u в свою очередь зависит от
переменной x, то y также зависит от x.
y F (u
)(x ) u (x )
Сложная функция
Пример:
y cos u
y cos x
u x
Областью определения функции y F (x )
является или вся
область определения функции u(x) или та ее часть, в которой
определяются значения u, не выходящие из области определения
функции F(u).
Пример:
y log2 x
x 0
x 0
x 1
log2 x 0 x 1

6.

Элементарные функции
Элементарной функцией называется функция, которая может
быть задана одной формулой вида y = f(x), где справа стоящее
выражение составлено из основных элементарных функций и
постоянных при помощи конечного числа операций сложения,
вычитания, умножения, деления и конечного числа
суперпозиций.
lg x 4 cos x 5
y
10 x x
2
Пример:

7.

Основные элементарные функции
1) Линейная функция: y kx b
y
2) Степенная функция:
y x
четное
n a
a 11
0 a 1
n
нечетное
1
21 1 2
3) Показательная функция:
x
2 2 k tg
y a
a 0; a 1
1
-1 0
-1
1
1
х
4) Логарифмическая функция:
b2
-1 -1
2
2
2
2
y log x a 0; a 1; x 0
n
a
5) Тригонометрические функции:
y tg x
y sin x
0 a 1
y cos x
y ctg x
6) Обратные тригонометрические функции:
y arcsin x y arccos x y arctg x
y arcctg x

8.

Неэлементарные функции
Неэлементарной функцией называется функция, которая не
относится к элементарным; например, если она не
записывается одной формулой или содержит бесконечное
число арифметических операций.
Пример:

9.

Неэлементарные функции
Функция модуль
у x
Сигнум- кусочно-постоянная
функция действительного аргумента
у sgn(x)

10.

Неэлементарные функции
Функция дробная часть числа
Дробной частью действительного
числа называется разность
между этим числом и его целой
частью.
у x
Функция целая часть числа
Целой частью действительного
числа x (x∈R) называется
наибольшее целое число, не
превосходящее x.
у x
Функция Дирихле — это зависимость, при которой каждому
рациональному числу ставится в соответствие единица, каждому
иррациональному — нуль

11.

Алгебраические и трансцендентные
функции
К числу алгебраических функций относятся элементарные
функции следующего вида:
1) Целая рациональная функция или многочлен:
y a0 x n a1x n 1 an
2) Дробная рациональная функция – отношение многочленов:
Целое неотрицательное
n
n 1
aКоэффициенты
x
a
x
aчисло
0
1
n
– степень
y многочлена
– 1
m
m
bпостоянные
x b1x числа
bm многочлена
0
3) Иррациональная функция:
Если в формуле y = f(x) в правой части производятся операции
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в
степень с рациональными нецелыми показателями, то функция
y = f(x) называется иррациональной
y x 5 x 2
Пример:
Функция, не являющейся алгебраической, называется
трансцендентной: y = cos x; y = ln x и так далее.
3
4