§22. Предел функции

1.

§22. Предел функции
п.1. Предел функции в точке по Гейне.
y f (x )
y
f ( x1 )
{ xn } : lim xn a
f ( xn )
n
f ( xn )
f ( x2 )
O
f :X Y
x2 x n a
x1 x

2.

Число b называется пределом функции f в
точке x a , если для любой
последовательности {xn }, сходящейся к точке
a, соответствующая последовательность
значений функции f ( xn ) сходится к числу b.
lim f ( x ) b
x a

3.

Число b называется пределом функции f в
точке x a , если для любой
последовательности {xn }, сходящейся к точке
a, соответствующая последовательность
значений функции f ( xn ) сходится к числу b.
lim f ( x ) b {xn } :
x a
lim xn a
n
lim f ( xn ) b
n

4.

Исследование существования предела
f ( x ) sin
x
a 0
2
xn '
4n 1
2
lim xn ' lim
?0
n
n 4 n 1
1
xn ' '
n
1
lim xn ' ' lim ?0
n
n n

5.

f ( xn ' ) sin
sin( 4n 1) 1?
2 /( 4n 1)
2
lim f ( xn ' ) lim 1 1?
n
n
ff ((xxnn '''')) sin
sin n 0?
11// nn
lim f ( xn ' ' ) lim 0 ?0
n
n

6.

lim f ( xn ' ) lim f ( xn ' ' )
n
n
lim sin
x 0
x
не существует

7.

п.2. Предел функции в точке по Коши.
Число b называется пределом функции f в
точке x a , если для любого числа 0
существует такое число ,зависящее от ,
что для всех x, удовлетворяющих условию
0 | x a | ,
выполняется неравенство
| f ( x ) b | .

8.

Число b называется пределом функции f в
точке x a , если для любого числа 0
существует такое число ,зависящее от ,
что для всех x, удовлетворяющих условию
0 | x a | ,
выполняется неравенство
| f ( x ) b | .
lim f ( x ) b
0
x a
( ) x : 0 | x a | ,
| f ( x ) b | .

9.

Определение предела на языке
окрестностей
Число b называется пределом функции f в
точке x a , если для любой -окрестности
точки b найдется такая -окрестность точки a,
что для всех x a из этой -окрестности
соответствующие значения функции f (x )
лежат в -окрестности точки b.

10.

Геометрический смысл предела функции
y f (x )
y
b
b
b
O
a
a
a
x

11.

п.3. Односторонние пределы.
y
y f (x )
c
b
O
x1 '
x2 ' a
x2 ' ' x1 ' '
x
{ xn '} : lim xn ' a xn ' a lim f ( xn ' ) ?b
n
n
{ xn ' '} : lim xn ' ' a xn ' ' a lim f ( xn ' ' ) c?
n
n

12.

Число b называется левосторонним пределом
функции f в точке x a , если для любой
последовательности {xn }, сходящейся к точке
a, члены которой меньше a, соответствующая
последовательность значений функции f ( xn )
сходится к b.
lim f ( x ) b
x a
{xn } : lim xn a xn a f ( xn ) lim f ( xn ) b
n
n

13.

lim f ( x ) b
x a
0
( )
x : a x ,
| f ( x ) b | .

14.

lim f ( x ) b
x a
Самостоятельно: дать определения
правостороннего предела.

15.

Теорема. Для того, чтобы функция f имела
предел в точке x a , необходимо и
достаточно, чтобы существовали
односторонние пределы функции в этой точке
и были равны между собой.
Тогда предел функции равен односторонним
пределам.
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x )
x a
x a
x a
lim f ( x ) limlim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
f ( x ) lim
f ( x)
x a
x a
x a
x a
x a

16.

y
O
x

17.

п.4. БМФ при x a.
Функция (x ) называется бесконечно
малой при x a , если
0 ( )
x : 0 | x a | ,
| ( x ) | .
lim ( x ) 0
x a
Примеры.
y x
2
y x не является БМФ при x 1
2 ─ БМФ при x 0

18.

Свойства БМФ при x a
1. Сумма двух БМФ при x a есть БМФ при
x a.
2. Произведение БМФ при x a и
ограниченной функции (в том числе
постоянной и другой БМФ при x a ) есть
БМФ при x a.
3. Частное отделения БМФ при x a и
функции, не являющейся БМФ при x a ,
есть БМФ при x a.

19.

п.5. ББФ при x a.
f (x ) называется бесконечно
большой при x a , если
Функция
A 0 ( A)
x : 0 | x a | ,
| f ( x ) | A.
lim f ( x ) lim f ( x ) , lim f ( x)
x a
x a
x a

20.

Примеры.
y
1
─ ББФ при x 2
x 2
1
не является БМФ при x 1
y
x 2

21.

Свойства ББФ при x a
1. Произведение ББФ при x a и функции,
не являющейся БМФ при x a , есть ББФ
при x a.
2. Сумма ББФ при x a и ограниченной
функции есть ББФ при x a.
3. Частное отделения ББФ при x a и
функции, не являющейся ББФ при x a ,
есть ББФ при x a.

22.

Связь между БМФ и ББФ при x a
Теорема 1. Если (x ) ─ БМФ при x a ,
1
то f ( x )
─ ББФ при x a.
( x)
Обратно, если f (x ) ─ ББФ при x a ,
1
то ( x )
─ БМФ при x a.
f ( x)

23.

Теорема 2. (Алгебраические свойства
предела функции)
lim f ( x ) b
x a
lim g ( x ) c
x a
а) lim ( f ( x ) g ( x )) b c
x a
б) lim ( f ( x ) g ( x )) b c
n

24.

в) lim ( f ( x ) g ( x )) b c
x a
f
(
x
)
b
г) lim
x a g ( x)
c
c 0

25.

п.6. Замечательные пределы.
Первый замечательный предел
sin x
lim
1
x 0 x
Следствия.
tg x
arcsin x
lim
1 lim
1
x 0 x
x 0
x
arctg x
lim
1
x 0
x

26.

Второй замечательный предел
x
1
lim 1 e
x
x
Следствия.
lim 1 x
1/ x
x 0
log a (1 x )
1
lim
x 0
x
ln a
ln( 1 x )
lim
1
x 0
x
e
a 1
lim
ln a
x 0
x
x
e 1
lim
1
x 0 x
x

27.

п.6. Эквивалентные функции.
Две БМФ при x a (x ) и (x ) называются
эквивалентными бесконечно малыми,
если
( x)
lim
1.
x a ( x)
( x ) ~ ( x ), x a.

28.

Таблица эквивалентных
lim ( x ) 0
x a
( x)
~ (x) log a (1 ( x)) ~ ln a
tg ( x )
~ (x) ln( 1( x ) ( x)) ~ (x)
arcsin ( x ) ~ (x ) a
1
~ ( x) ln a
( x)
arctg ( x ) ~ (x ) e
1
~ (x)
(1 ( x )) 1 ~ a (x )
sin ( x )
a

29.

Замечание. Предел произведения или
частного бесконечно малых функций не
измениться, если любую из них заменить
эквивалентной бесконечно малой.
Пример.
3x 0
sin 3 x xlim
3
x
lim
0
lim
3
x 0
x
sin 3 x ~ 3 x, x 0 x 0 x