Численные методы алгебры

1.

Тема 1. Численные методы алгебры
Лекция 2. Прямые и итерационные численные методы
решения СЛАУ
Цель:
изучить
систематизированную
основу
теоретических знаний по численным прямым и
итерационным методам решения СЛАУ.
Учебные вопросы:
2.1. Метод исключения Гаусса.
2.2. Метод простой итерации.
2.3. Метод Зейделя.
2.4. Метод скалярной прогонки ([1], с. 26…28).
Литература к лекции 2:
[1], с. 16…34;
[2], с. 7…17; 19…29;
[3], с. 4…13.
1

2.

2.1. Метод исключения Гаусса
Дана СЛАУ:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1,
a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2,
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3.
Прямой ход:
Составим расширенную матрицу:
x1
x2
x3
b
a11
a12
a13
b1
a 21
a 22
a 23
b2
a 31
a 32
a 33
b3
Первый шаг
a21/ a11;
a31/ a11;
a11 ≠ 0.
матрица системы А
2

3.

a11
0
a12
a 22
a13
(1)
a32(1)
0
Второй шаг
b1
(1)
a 23
(1)
a32(1) / a 22(1) ;
(1)
a 22(1) 0.
b2
a33(1)
b3
x1
x2
x3
b
a11
a12
a13
b1
0
0
a 22
0
(1)
(1)
a 23
( 2)
a33
b2
(1)
( 2)
b3
Прямой ход
закончен!
Получили СЛАУ
с треугольной
матрицей!
3

4.

Обратный ход:
a33( 2 ) x3 b3( 2 ) x3 b3( 2 ) / a33( 2 ) ;
a22(1) x2 a23(1) x3 b2(1) x2 (b2(1) a23(1) x3) / a22(1) ;
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 x1 (b1 a12 x2 a13 x3) / a11.
Обратный ход закончен!
Заданная СЛАУ решена методом исключения Гаусса!
Замечание 1. Если все элементы какой-либо строки
матрицы системы А в результате преобразования стали
равными нулю, а правая часть b не равна нулю, то СЛАУ
несовместна, поскольку не выполняются условия теоремы
Кронекера-Капелли.
4

5.

2.2. Метод простой итерации
Задана СЛАУ:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2,
..........................
an1 x1 an2 x 2 ... ann xn bn.
(3)
Эквивалентная СЛАУ:
x1 1 11 x1 a12 x2 ... 1n xn,
x2 2 21 x1 a22 x2 ... 2n xn,
..............................
(4)
xn n n1 x1 an2 x2 ... nn xn.
(5)5

6.

bi
i , i 1, n,
aii
aij
, при i j , i, j 1, n,
ij aii
0, при i j , i 1, n.
(6)
6

7. Итерационная последовательность метода простой итерации

.................
(7)
Условие остановки итерационного процесса:
7

8.

2.3. Метод Зейделя
x1( K 1) 1 0 x1( K ) 12 x 2( K ) ... 1n xn ( K ) ,
x 2( K 1) 2 21 x1( K 1) 0 x 2( K ) ... 2n xn ( K ) ,
x3( K 1) 3 31 x1( K 1) 32 x 2( K 1) 0 x3( K ) ... 3n xn ( K ) ,
...............................................................
x(n 1)( K 1) (n 1) (n 1),1 x1( K 1) (n 1),2 x2( K 1)
(n 1),3 x3( K 1) ... (n 1), n xn( K ) ,
xn ( K 1) n n1 x1( K 1) n2 x 2( K 1) n3 x3( K 1)
... n, (n 1) x(n 1)( K 1) 0 xn( K ) .
x( K 1) B x( K 1) C x( K ) .
(9)
8

9.

x ( K 1) B x ( K 1) C x ( K ) .
(9)
x ( K 1) ( E B) 1 ( E B) 1 C x ( K )
x ( K 1)
З
З x( K )
K 0,1,2,....
(10)
x (0) З .
Условие остановки итерационного процесса:
9