Операционное исчисление. Изображение элементарных функций-оригиналов. Лекция 4

1.

Операционное исчисление.
Изображение элементарных функций-оригиналов.
Как известно
1
p
(t ) .
Тогда по теореме дифференцирования изображения получаем
1
1
t 2 ,
p p
1
2
t 2 2 ___, t 3 3 ____ .
p
p
Пусть для n-1 степени справедлива формула
t n 1
(n 1)!
.
pn
Тогда получаем для n-ой степени
(
n
1
)!
____ .
t n
n
p
1

2.

Операционное исчисление.
Изображение элементарных функций-оригиналов.
По теореме смещения для любого комплексного λ
e t e t (t )
1
.
p
Так как
e t e t
sh t
,
2
e t e t
сh t
.
2
Поэтому
1 1
1
sh t
_________,
2 p p
1 1
1
ch t
__________ .
2 p p
2

3.

Операционное исчисление.
Изображение элементарных функций-оригиналов.
Аналогично
e i t e i t
sin t
,
2i
ei t e i t
cos t
.
2
Поэтому
sin t
1 1
1
__________,
2i p i p i
1 1
1
cos t
__________ .
2 p i p i
3

4.

Операционное исчисление.
Изображение элементарных функций-оригиналов.
В результате подобных рассуждений получаем таблицу простейших оригиналов и
их изображений
tn
n!
,
n 1
p
cos t
p
,
2
2
p
t n e t
n!
,
n 1
( p )
sin t
e t
p
2
2
,
1
,
p
e t sin t _____________,
e t cos t ______________,
ch t
sh t
p
2
2
,
p
.
2
2
p
4

5.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 17 (первая теорема разложения). Если функция F(p) аналитична в
окрестности ∞, имеет в ∞ нуль, то она является изображением. При этом, если
F ( p ) an p n
n 1
– ее разложение Лорана в окрестности ∞, то
t n 1
F ( p ) an
.
(
n
1
)!
n 1
(1)
Доказательство. Покажем, что ряд
t n 1
f (t ) an
n 1 ( n 1)!
сходится для любого действительного t и представляет собой функцию-оригинал.
5

6.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Пусть F(p) аналитична в области |p|>R. Выберем произвольное число R1 R.
Тогда ряд
an R1 n
n 1
сходится (это – значение функции F(p) в точке R1) и потому последовательность
an R1 n
ограничена, т.е. существует такое M, что
an R1 n M ,
откуда
an MR1n .
6

7.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Тогда получаем
t n 1
MR1 R1t n 1
an
.
(n 1)!
(n 1)!
Выражение справа – это общий член ряда, сходящегося при любом значении t.
По признаку сравнения ряд (1) сходится абсолютно для всех значений t, и
MR R t n 1
1 1
f (t )
n 1
(n 1)!
MR1e R1t ,
т.е. функция f(t) имеет ограниченный рост.
Функция f(t), представимая степенным рядом, является непрерывной. Найдем ее
изображение. Изображение существует, если в равенстве
e
0
n
t k 1
ak pt k 1
ak (k 1)! dt (k 1)! e t dt
k 1
0
k 1
pt
n
можно перейти к пределу при n стремящемся к ∞.
(2)
7

8.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Положим
Тогда
t k 1
f n (t ) ak
.
(
k
1
)!
k 1
n
t k 1
t k 1
f n (t ) ak
ak
MR1e R1t .
(k 1)! k 1 (k 1)!
k 1
n
Если Rep=σ≥R2>R1, то
max e
n
pt
f n (t )dt max e
n
T
MR1 e
( R2 R1 )t
T
pt
f n (t ) dt MR1 e( R1 )t dt
T
T
e ( R2 R1 )T
dt MR1
0
R2 R1
при T стремящемся к ∞.
8

9.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Значит, интеграл
pt
f n (t )e dt
0
сходится равномерно по n. Поэтому
lim f n (t )e
n 0
pt
dt lim f n (t )e pt dt ,
0 n
и, переходя в равенстве (2) к пределу по n, получаем
lim e
n 0
n
t k 1
ak pt k 1
e t dt
ak (k 1)! dt nlim
(
k
1
)!
k 1
0
k 1
pt
n
a
ak pt k 1
ak
e t dt
________ kk .
k 1( k 1)! 0
k 1( k 1)!
k 1 p
Что и требовалось доказать.
9

10.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 18 (вторая теорема разложения – случай простых корней). Пусть
изображение F(p) представляет собой дробно-рациональную функцию
a0 a1 p a2 p 2 ... am p m
F ( p)
,
2
n
b0 b1 p b2 p ... bn p
где m<n, и все корни знаменателя: p1,…, pn являются простыми.
Тогда
n F (p )
F ( p) 1 k e pk t .
k 1 F '2 ( pk )
Доказательство. Разложим F(p) на простейшие дроби
F1 ( p) n ck
F ( p)
.
F2 ( p) k 1 p pk
(3)
10

11.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Найдем коэффициенты ck
F ( p)
( p pk ) F1 ( pk )
ck lim 1
( p pk ) F1 ( pk ) lim
F ( p ) .
p pk F2 ( p )
p
p
F
(
p
)
k
2
2
k
Подставляем их в (3), получаем
F1 ( p) n 1 F1 ( pk )
F ( p)
.
F2 ( p) k 1 p pk F2 ' ( pk )
Учитывая что
1
_______,
p pk
n
n
F1 ( pk )
F (p )
F1 ( p)
1
F ( p)
1 k e pk t .
F2 ( p) k 1 p pk F2 ' ( pk )
k 1 F2 ' ( pk )
Что и требовалось доказать.
11

12.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 19 (вторая теорема разложения – случай кратных корней). Пусть
изображение F(p) представляет собой дробно-рациональную функцию
a0 a1 p a2 p 2 ... am p m
F ( p)
,
2
n
b0 b1 p b2 p ... bn p
где m<n, и пусть корни знаменателя: p1,…, pk будут кратными с кратностями
соответственно равными
1, 2 ,..., k .
Тогда
k i B ( i j ) ( p ) t j 1
F1 ( p )
i
F ( p)
i
e pi t ,
F2 ( p ) i 1 j 1 ( i j )! ( j 1)!
где
Bi ( p)
F1 ( p)
( p pi ) i .
F2 ( p)
12

13.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Доказательство. Разложение функции F(p) на простейшие дроби имеет вид
A j ,i
F1 ( p) k i
F ( p)
.
j
F2 ( p) i 1 j 1( p pi )
(4)
Умножаем обе части на ( p pi ) j
i
F1 ( p)
i
Bi ( p)
( p pi ) A j ,i ( p pi ) i j N ( p pi ) i .
F2 ( p)
j 1
Тогда
(5)
Bi ( pi ) A i ,i .
Последовательно дифференцируем (5)
дифференцирования придаем p значение pi
Bi ' ( pi ) A i 1,i ,
по
p
и
каждый
раз
после
( i j )
Bi ' ' ( pi ) 2! A i 2,i , B
( pi ) ( i j )! A i j ,i .
…,
i
13

14.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Подставляя эти выражения в (4), получаем
F1 ( p ) k i Bi( i 1) ( pi )
1
F ( p)
.
j
F2 ( p ) i 1 j 1 ( i 1)! ( p pi )
Так как
1
__________,
j
( p pi )
то окончательно получаем
k i B ( i j ) ( p ) t j 1
F1 ( p )
i
F ( p)
i
e pi t .
F2 ( p ) i 1 j 1 ( i j )! ( j 1)!
Что и требовалось доказать.
14

15.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Теорема 19 (третья теорема разложения). Пусть F(p) – функция комплексного
аргумента, аналитическая в С всюду, кроме некоторой конечной или счетной
последовательности точек p1, p2,…, являющихся ее изолированными особыми
точками, причем все эти точки расположены в некоторой левой полуплоскости
Rep≤σ0.
Пусть:
1) Существует такая последовательность радиусов Rn , lim Rn ,
n
что
lim max F ( p) , p Rn 0,
n
2) Функция F(p) абсолютна интегрируема вдоль любой вертикальной прямой
Rep=σ, σ>σ0.
Тогда F(p) является изображением и
F ( p) res F ( p)e pt , p pk .
k
15

16.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Доказательство. Условия теоремы позволяют утверждать, что F(p) является
изображением, оригинал для которого может быть получен по формуле обращения.
Рассмотрим контур Гn, состоящий из отрезка прямой Rep=σ и дуги Cn окружности
p Rn ,
которая расположена слева от указанной прямой.
16

17.

Операционное исчисление.
Разложение оригиналов и изображений в ряды.
Интеграл
F ( p)e dp,
pt
n
взятый вдоль контура Гn против часовой стрелки, будет равен сумме вычетов
функции по особым точкам pk, попавшим внутрь контура. По лемме Жордана
F ( p)e dp 0
pt
Cn
при n→∞.
Переходя к пределу при n→∞, получаем
1 i
pt
pt
F
(
p
)
e
dp
res
F
(
p
)
e
, p pk .
2 i i
k
Что и требовалось доказать.
17