Операционное исчисление. Некоторые свойства оригиналов и изображений. Лекция 3

1.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Теорема 11: Изображение производной по переменной t от свертки
t
f (t ) g ( )h(t )d
0
f ' (t ) pG( p) H ( p),
определяется по формуле
если
g (t ) G( p),
h(t ) H ( p).
Доказательство.
На основании теоремы 10
f (t ) G( p) H ( p).
Найдем оригинал для функции
pG( p) H ( p) :
pG ( p) H ( p) pG[ p] g (0) H ( p) g (0) H ( p)
t
(1)
_______________ g (0)h(t ) g ' ( )h(t )d ,
0
1

2.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
или
pG ( p ) H ( p ) G ( p) pH [ p ] h(0 ) h(0)G ( p )
t
_______________ h(0 ) g (t ) g ( )h' (t )d .
(2)
0
Формулы (1) и (2) называют интегралами Дюамеля.
На основании теоремы 10 f (t ) G( p) H ( p).
Теперь применим теорему о дифференцировании оригинала
f ' (t ) pG( p) H ( p) f (0),
так как f(0)=0, то получаем
f ' (t ) pG( p) H ( p).
С учетом (2) получаем формулу для производной свертки
t
t
f ' (t ) g ( )h(t )d ' h(0 ) g (t ) g ( )h' (t )d .
0
0
Что и требовалось доказать.
2

3.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Теорема 12 (умножение оригиналов): Если f1(t) и f2(t) являются функциями
оригиналами с показателями роста соответственно a1 и a2, и F1(p) и F2(p) их
соответствующие изображения, то изображением их произведения является
1 i
f1 (t ) f 2 (t )
F1 (q) F2 ( p q)dq,
2 i i
где Req=σ>a1 и Rep>a2+σ.
Доказательство. Произведение двух функций оригиналов также является
функцией оригиналом (доказать самостоятельно).
По условию
f1 (t ) F1 ( p),
f 2 (t ) F2 ( p).
Изображение произведения считаем по формуле
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )e pt dt.
(3)
0
3

4.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Функцию f1(t) можно определить следующим образом, используя интеграл
Бромвича:
1 i
f1 (t )
F1 (q)eqt dq.
2 i i
Подставляем это выражение в (3), получаем
f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )e pt dt ____________________ .
0
Меняем порядок интегрирования
1 i
( p q ) t
f1 (t ) f 2 (t )
F1 (q ) f 2 (t )e
dt dq.
2 i i
0
По условию Req=σ>a1 и Rep>a2+σ, и следовательно Re(p-q)>a2. Тогда
f 2 (t )e
0
( p q ) t
dt ___________ .
4

5.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Получаем:
1 i
f1 (t ) f 2 (t )
F1 (q) F2 ( p q)dq.
2 i i
Что и требовалось доказать.
Замечание: Величина σ может быть сколь угодна близка к a1. Поэтому можно
считать, что произведение функций оригиналов f1(t) и f2(t) определено для
значений p, удовлетворяющих неравенству Rep>a, где a= a1+a2 – показатель роста
функции произведения.
5

6.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Теорема 13 (обобщенная теорема умножения изображений): Если
изображением функции оригинала f(t) является функция F(p) и заданы
аналитические функции Ф(p) и q(p), такие что
pt
q ( p )
( p).
(t , )e dt e
0
Тогда выполняется следующее соотношение
( p) F q( p) f ( ) (t , )d .
0
Доказательство.
Рассмотрим интеграл
f ( ) (t, )d .
0
Его преобразование Лапласа имеет вид
_____________________ .
6

7.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Поменяем порядок интегрирования
pt
d .
f
(
)
(
t
,
)
e
dt
0 0
Используя условие теоремы
pt
q ( p )
( p),
(t , )e dt e
0
получаем
pt
q ( p )
0 f ( ) 0 (t , )e dt d ( p) 0 f ( )e d .
Так как
f ( )e
q ( p )
d F q( p) ,
0
то
0
0
f ( ) (t, )d ( p) f ( )e
q ( p )
d ( p) F q( p) .
Что и требовалось доказать.
7

8.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Замечание: Если в теореме принять в качестве q(p)=p, а φ(t,τ)=φ(t-τ), то получим
теорему о преобразовании свертки (умножении изображений).
Доказать самостоятельно.
Теорема 14 (обобщенная теорема умножения оригиналов): Если известны
изображения функций оригиналов
f1 (t ) F1 ( p),
f 2 (t )e q (t ) F2 ( , p ),
тогда изображением функции
f1 (t ) f 2 (q(t )) является
1 i
f1 (t ) f 2 (q(t ))
F1 ( ) F2 ( , p)d .
2 i i
Доказательство.
Рассмотрим интеграл
1 i
F1 ( ) F2 ( , p)d .
2 i i
Найдем его функцию оригинал, используя интеграл Бромвича.
8

9.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
1 i pt 1 i
dp.
e
F
(
)
F
(
,
p
)
d
1
2
2 i i 2 i i
Меняем порядок интегрирования
1 i
1 i
pt
d
F
(
)
F
(
,
p
)
e
dp
1
2
2 i i
2 i i
1 i
__________________ f 2 (t )
F1 ( )e q (t ) d
2 i i
f 2 (t ) f1 (q (t )).
Что и требовалось доказать.
Замечание: Если в теореме 14 принять в качестве q(t)=t, то получим теорему об
изображении произведения оригиналов (теорема 12).
Доказать самостоятельно.
9

10.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Теорема 15: Пусть выполнены следующие условия:
1) f (t ) F ( p).
2)
f (t ) e
0t
dt , 0 0.
0
3) Функция q(p) является аналитической и регулярной в полуплоскости Re p 0 ,
Причем Re q( p) 0 .
Тогда оригиналом функции F[q(p)] является следующая функция
d
F q( p) f ( ) (t , )d ,
dt 0
где
e q ( p )
(t , )
.
p
10

11.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Доказательство.
Покажем, что интеграл f ( )e q ( p ) d является
0
функцией при
Re p 0 .
f ( )e
0
q ( p )
d f ( ) e
Re q ( p )
ограниченной
и
регулярной
d f ( ) e 0 d .
0
0
F ( p) f (t )e pt dt.
Используем первый пункт условия
(4)
0
Подставляем вместо p в (4) q(p). Получаем
F q( p) f (t )e q ( p )t dt.
0
F q( p) f ( ) e 0 d .
0
11

12.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Следовательно существует
1 i
d 1 i F q( p) pt
pt
F q( p)
F q( p) e dp
e dp.
2 i i
dt 2 i i
p
(5)
Рассмотрим следующее выражение
1 i e q ( p ) pt
d
d
dp d .
f ( ) (t , )d dt f ( ) 2 i
dt 0
p
0
i
Меняем порядок интегрирования
d
d 1 i e pt
q ( p )
d dp ________________ .
f ( ) (t , )d dt 2 i p f ( )e
dt 0
0
i
12

13.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Сравнивая с (5), получаем
d
F q( p) f ( ) (t , )d .
dt 0
Что и требовалось доказать.
Теорема 16: Пусть выполнены следующие условия:
1) f (t ) F ( p).
2) Интеграл
i
F ( p)e dp дифференцируем для t>0.
pt
i
e q (t )
( p, ).
t
Тогда изображением функции f[q(t)] является следующая функция
3)
1 d i
f q(t )
F ( ) ( p, )d .
2 i dt i
Функция q(t) – ограничена.
13

14.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Доказательство.
Так как по условию функция q(t) ограничена, а функция
1 i
f (t )
F ( p)e pt dp
2 i i
дифференцируема, то функция
1 i
f q(t )
F ( p)e pq(t ) dp
2 i i
тоже дифференцируема и
f q(t ) f q(t ) e
0
pt
d f q(t ) pt
dt
e dt.
dt 0 t
(6)
Рассмотрим выражение
1 d i
f q(t )
F ( ) ( p, )d .
2 i dt i
14

15.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
По условию
q (t )
( p, )
e
0
t
e pt dt.
Получаем
e q (t ) pt
d 1 i
d 1 i
F ( ) ( p, )d
F ( )
e dt d .
dt 2 i i
dt 2 i i
0 t
Меняем порядок интегрирования
d 1 i
d e pt 1 i
q (t )
F
(
)
(
p
,
)
d
F
(
)
e
d
dt
dt 2 i i
dt 0 t 2 i i
_______________ .
Сравнивая с (6), получаем
Что и требовалось доказать.
1 d i
f q(t )
F ( ) ( p, )d .
2 i dt i
15