Законы коммутации

1.

Рассматриваемые вопросы:
1. Законы коммутации
2. Методы анализа переходных
процессов в линейных эл. цепях
3. Классический метод расчета ПП эл.
цепи первого порядка
4. Примеры расчета ПП линейной эл. цепи
классическим методом
2

2.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

3.

Переходным называется процесс,
возникающий в электрической цепи при
переходе от одного установившегося
режима к другому.

4.

При коммутации в эл. цепи возникают
переходные процессы, т.е. процессы
перехода тока (или напряжения) от одного
установившегося режима работы эл. цепи к
другому режиму работы эл. цепи.
Изменение токов и напряжений вызывают
одновременное изменение энергии
электрического поля WЭ, связанного с
элементами эл. цепи – ёмкостью, и
магнитного поля WM, связанного с
элементами эл. цепи – индуктивностью.

5.

Энергия электрического поля и энергия
магнитного поля могут изменяться
только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы
от источника бесконечно большой
мощности. На этом основаны законы
коммутации.

6.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Первый закон коммутации:
В любой ветви с индуктивностью ток не
может изменяться скачком и в момент
коммутации сохраняет то значение, которое
он имел непосредственно перед моментом
коммутации.

7.

ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ
Первый закон коммутации:
t (0)

8.

Первый закон коммутации (обозначения):
iL(0+) - ток в ветви с индуктивностью в
момент коммутации, т.е. сразу после
коммутации (знак "+").
Время переходного процесса
отсчитывается от момента
коммутации;
iL (0-) - ток в индуктивности
непосредственно перед коммутацией.

9.

Второй закон коммутации:
Напряжение на емкости сразу после
коммутации сохраняет то значение,
которое оно имело непосредственно
перед моментом коммутации.

10.

Второй закон коммутации (обозначения):
uC(0+) - напряжение на емкости в
момент коммутации;
uC(0-) - напряжение на емкости
непосредственно перед
моментом коммутации.

11.

Допущения, применяемые при анализе ПП
1. Полагают, что ПП длится бесконечно
большое время.
2. Считается, что замыкание и размыкание
рубильника происходит мгновенно, без
образования электрической дуги.
3. Принимают, что к моменту коммутации
предыдущие ПП в цепи закончились.

12.

Методы анализа переходных процессов в
линейных цепях:
1. Классический метод
2. Операторный метод
3. Частотный метод
4. Метод расчета с помощью интеграла
Дюамеля
5. Метод переменных состояния цепи

13.

1. Классический метод расчета
переходных процессов
заключается в непосредственном
интегрировании дифференциальных
уравнений, описывающих изменения
токов и напряжений на участках цепи
в переходном процессе.

14.

2. Операторный метод расчета
переходных процессов
заключается в решении системы
алгебраических уравнений
относительно изображений искомых
переменных с последующим
переходом от найденных
изображений к оригиналам.

15.

3. Частотный метод расчета
переходных процессов
основанный на преобразовании
Фурье. Он находит широкое
применение при решении задач
синтеза.

16.

4. Метод расчета переходных
процессов с помощью итеграла
Дюамеля,
используется при сложной форме
кривой возмущающего воздействия.

17.

5. Метод переменных состояния,
представляет собой упорядоченный
способ определения
электромагнитного состояния цепи
на основе решения
дифференциальных уравнений
первого порядка, записанных в
нормальной форме (форме Коши).

18.

Классический метод расчета
1. Классический метод расчета
переходных процессов
заключается в непосредственном
интегрировании дифференциальных
уравнений, описывающих изменения
токов и напряжений на участках цепи
в переходном процессе.

19.

Классический метод расчета
Алгоритм:
Общий случай при использовании
этого метода:
1. Составляется уравнение
электромагнитного состояния
электрической цепи по законам Ома
и Кирхгофа для мгновенных
значений напряжений и токов,
которые связаны между собой (на
отдельных элементах цепи)
соотношениями:

20.

Связь мгновенных значений напряжений и
токов на элементах электрической цепи
Элемент цепи: резистор (идеальное
активное сопротивление):
uR t R iR t
Элемент цепи: катушка индуктивности
(идеальная индуктивность):
diL t
uL t L
dt

21.

Связь мгновенных значений напряжений и
токов на элементах электрической цепи
Катушка индуктивности при наличии
магнитной связи с катушкой,
обтекаемой током iM :
diL t
diM t
uL t L
M
dt
dt

22.

Связь мгновенных значений напряжений и
токов на элементах электрической цепи
Элемент цепи: конденсатор
(идеальная емкость):
duC t
iC t C
dt
1
uC t iC t dt
C

23.

Рассмотрим пример (общее решение):
u t uR t uL t uC t

24.

Пример_01:
Последовательная электрическая цепь
содержит:
- резистор R,
- катушку индуктивности L,
- конденсатор С,
- источник напряжения u.

25.

Пример_01:
u t uR t uL t uC t
diL t 1
u t RiR t L
iC t dt
dt
C

26.

Пример_01:
diL t 1
u t RiR t L
iC t dt
dt
C
duC t
iC t C
dt

27.

Пример_01:
…в итоге получаем линейное
дифференциальное уравнение второго
порядка относительно uC (t):
diL t 1
u t RiR t L
iC t dt
dt
C
duC t
iC t C
dt
d 2 uC t
duC t
u t LC
RC
u
t
C
2
dt
dt

28.

ИТОГ примера_01:
d uC t
duC t
u t LC
RC
u
t
C
2
dt
dt
2
Вывод уравнения САМОСТОЯТЕЛЬНО !

29.

Переходный процесс

30.

Методы расчета переходных процессов
1. Классический метод
1.1. Составляется система
дифференциальных уравнений эл. цепи
с использованием законов Кирхгофа и
Ома.
Кроме этого, используются уравнения
для отдельных элементов цепи:
ur rir
diL
uL L
dt
duC
uC C
dt

31.

1. Классический метод
1.2. Полученную систему уравнений,
путем замены переменных, сводят к
дифференциальному уравнению n-го
порядка относительно искомой
величины.
В качестве искомой величины
используют одну из переменных
состояния: это ток в любой
индуктивности или напряжение на одной
из емкостей.

32.

1. Классический метод
1.3. Общее решение полученного
линейного дифференциального
уравнения ищут в виде суммы двух
выражений:
iL iL пр iL св
ИЛИ
uC uC пр uC св

33.

1. Классический метод
iL iL пр iL св ИЛИ uC uC пр uC св
iL св , uC св
– соответствуют общим
решениям, без независимых
источников энергии.
iL пр , uC пр
– соответствуют частным
решениям неоднородных
уравнений, с независимыми
источниками энергии
(принужденные составляющие).

34.

1. Классический метод
iL iL пр iL св ИЛИ uC uC пр uC св
Решения для свободных составляющих ищут в виде
суммы n слагаемых (зависит от числа реактивных
элементов):
n
iL св Ak e
k 1
pk t
n
ИЛИ
uC св Bk e
pk t
k 1
Аk , Bk – постоянные интегрирования однородных
диф. уравнений, которые определяются из
начальных условий при помощи законов
коммутации цепи.

35.

1. Классический метод
n
iL св Ak e
k 1
pk
pk t
n
ИЛИ
uC св Bk e
pk t
k 1
– корни соответствующих
характеристических уравнений цепи, которые
получают из диф. уравнений путем замены
производных операторами pk

36.

1. Классический метод
n
iL св Ak e
k 1
pk t
n
ИЛИ
uC св Bk e
pk t
k 1
Для линейных эл. цепей, корни характеристических
уравнений имеют отрицательные вещественные
части, поэтому с увеличением времени t все
свободные составляющие решений стремятся к
нулю, т. е. затухают. Иначе, запасы энергии в
реактивных элементах ограничены и стремятся к
нулю при t стремящейся к бесконечности.

37.

1. Классический метод
В итоге: расчет переходных процессов этим
методом сводится к определению трех
величин:
- постоянных интегрирования Аk (или Bk);
- корней характеристического уравнения pk;
- принужденных составляющих iL пр , uC пр

38.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
E = 100 В
R
E
R
L
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
1. Здесь ми имеем относительно простую
схему 1-го порядка. Так говорят, если в
схеме только одна катушка, или только
один конденсатор.

39.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
R
E
E = 100 В
R
L
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
2. Дано: E, R, L. Требуется найти закон
изменения тока i(t) в общем виде
классическим методом, т.е. в общем
n
виде:
p t
i t iL св iL пр iL пр Ak e k
k 1

40.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
2. Дано: E, R, L. Требуется найти закон
изменения тока i(t) в общем виде
классическим методом, т.е. в общем
виде:
n
i t iL пр iL св iL пр Ak e
k 1
pk t

41.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
R
E = 100 В
R
L
E
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
1 шаг: Произведем расчет эл. цепи до
коммутации, т.е в момент t (0– ).
– ключ «k» открыт,
– в цепи при этом имеется два
последовательных резистора R и ЭДС.

42.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
E = 100 В
R
E
R
L
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
1 шаг: катушку в схеме замещения можно
представить замкнутым проводником на
ее полюсах.

43.

Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
П_01
i(t)
E = 100 В
R
R
L
E
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
Схема замещения: в t (0_ )
1 шаг: До коммутации в момент времени
t (0– ),
E
100
i 0 –
5 А
R R 10 10

44.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
E = 100 В
R
R
L
E
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
Схема замещения: в t (0+ )
2 шаг: В момент t (0+ ), подсчитаем ток
через катушку индуктивности.

45.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
В соответствии с классическим методом расчета,
ПЕРЕХОДНОЙ ток в ветви схемы представляют в
виде суммы ПРИНУЖДЕННОГО и СВОБОДНОГО
токов.

46.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
iПР – принужденный ток, определяется в
установившемся режиме после
коммутации. Этот ток создается
внешними источниками питания.

47.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
iСВ – свободный ток, определяется в схеме
после коммутации, из которой исключен
внешний источник питания. Свободный
ток создается внутренними источниками
питания: ЭДС самоиндукции
индуктивности или напряжением
заряженной емкости.

48.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
E = 100 В
R
E
R
L
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
3 шаг: Расчитывается схема
установившегося режима, после
коммутации:
t

49.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
E = 100 В
R
E
R
L
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
3 шаг: Установившийся режим: t
- ключ замкнут: в цепи один резистор,
второй замкнут; катушка накоротко
замкнута.

50.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
k
i(t)
E
E
E = 100 В
E = 100 В
i(t)
R
R
R
R
L
L
R = 10 Ом
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
L = 0,1 Гн
___________
___________
ii (( tt )) == ??
3 шаг: В установившимся режиме
ток на ветви катушки называется
принудительным:
E 100
iпр
10 A
R 10
t

51.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
4 шаг: Составим характеристическое уравнение и
найдем корень p этого уравнения. Для этого
отключим источник напряжения и найдем полное
сопротивление цепи.
k
i(t)
R
E
R
pL
E = 100 В
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
В таком режиме сопротивление индуктивности
записывают в следующем виде:
j p
j L pL; p – корень харак. ур-ния

52.

Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
П_01
k
i(t)
R
R
pL
E
E = 100 В
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
j p
j L pL,
где p – корень характеристического уравнения
Тогда полное сопротивление цепи:
Z p R pL 0
R
p
L

53.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
k
i(t)
R
E
R
pL
E = 100 В
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
i(t)=?
R
10 1
1
p 100 100 c 1
L
0 ,1 c
c
Ом В В А 1
p
Гн А Гн А В с с
Индуктивность в 1 Гн – это если изменение тока в
1 А/с создает ЭДС индукции 1 В

54.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
R
10 1
1
1
p 100 100 c
L
0 ,1 c
c
5 шаг: Запишем выражение для свободной
составляющей тока:
iсв A e , где р – корень
pt
iсв A e
100 t
Здесь А – постоянная
интегрирования

55.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
Выражение для полного решения ищут в виде:
i t iпр iсв
iпр – принужденное состояние тока
iсв
– свободный ток
i t 10 A e
100t
Найдем постоянную интегрирования А в момент
времени t (0+)

56.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
Выражение для полного решения ищут в виде:
i t iпр iсв
i t 10 A e
100t
Найдем постоянную интегрирования А в момент
времени t (0+)
i 0 10 A
5 10 A
A 5 А

57.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
Выражение для полного решения ищут в виде:
i t iпр iсв
i t 10 A e
100t
В окончательном виде, решения для тока, как
функции времени, запишется так:
i t 10 5 e
100t
A
В итоге, найден закон изменения тока (в схеме с
индуктивностью) классическим методом!

58.

59.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
i t 10 5 e
100t
A
Построим график зависимости тока от
времени:
100t
i t 10 5 e
A
– до коммутвции в момент t (0– ) ток равнялся 5А,
– после коммутации, в установившемся режиме ток
равнялся 10А,
– от 5А, после коммутации ток экспотенциально
возрастает до 10А за время (по некоторым
сведениям за (t = 5 ) с

60.

П_01
i, A
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
i t 10 5 e
100t
A
t, c
t = 1
t = 2
t = 5

61.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
II ЧАСТЬ: Найдем напряжение на катушке:
k
i(t)
E = 100 В
R
R
L
E
R = 10 Ом
L = 0,1 Гн
___________
uL ( t ) = ?
di
uL t L
dt
i t 10 5 e
d
100t
В
uL t 0,1 10 5e
dt
100t
A

62.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
II ЧАСТЬ: Найдем напряжение на катушке:
d
uL t 0,1 10 5e 100t В
dt
uL t 0,1 5 100 e
uL t 50 e
100t
100t
В
В

63.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
Напряжение на катушке:
uL t 50 e 100t В
u, В
t, c

64.

П_01
Расчет переходного процесса эл. цепи
классическим методом
Время переходного процесса:
1
p 100
c
1
0,01 c
p
Тогда: t = 5 = 0,05 c