Дифференциальные уравнения (Т.П. Ильичева, В.О. Кузнецов)

1.

Федеральное агентство морского и речного транспорта
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА
имени адмирала С.О. МАКАРОВА
_________________________________________________________
___
ИНСТИТУТ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА
Кафедра высшей математики
Т. П. Ильичева, В.О. Кузнецов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания по выполнению расчетнографической работы и варианты расчетно-графических работ.
Санкт-Петербург
Издательство ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова
2021

2.

ББК 22.1
УДК 51
Б53
Б53 В.О. Кузнецов, Т. П. Ильичева. «Дифференциальные уравнения». Методические указания по выполнению расчетно-графической работы и варианты расчетно-графических работ. ¬ СПб, ГУМРФ, 2021 – 20 с.
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту
высшего образования по направлениям подготовки бакалавриата
08.03.01 – Строительство
09.03.03 – Прикладная информатика
13.03.02 – Электроэнергетика и электротехника
20.03.02 – Природообустройство и водопользование
23.03.01 - Технология транспортных процессов
23.03.03 – Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов
26.03.01 – Управление водным транспортом и гидрографическое обеспечение
судоходства
26.03.02 – Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры
38.03.01 – Экономика
38.03.02 – Менеджмент
38.03.04 – Государственное и муниципальное управление
43.03.02 – Туризм
Приведены образцы решения и оформления типовых задач. Расчетнографическая работа является этапом подготовки студента к сдаче экзамена по дисциплине «Математика». Методические указания предназначены для студентов
технических и экономических направлений бакалавриата ГУМРФ. Содержит 36
вариантов расчетно-графических работ раздела «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Каждый вариант состоит из пяти задач, которые охватывают
основные темы раздела, выполнение, которых позволяет судить о степени усвоения
студентом данного материала.
Рекомендовано к изданию на заседании кафедры математики.
Протокол № от 5 февраля 2021 г.
Рецензент:
Ястребов М.Ю., проф.кафедры математики (ГУМРФ им. адм. С.О. Макарова).
©ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова», 2021
© Ильичева Т.П., Кузнецов В.О. 2021
2

3.

Решения типовых задач
2
Задача 1. x=
dy xy dx + y 2dy ,
y(2) = 1 .
Решение. ( x 2 − y 2 )dy = xy dx ⇒ y′ =
tx ⋅ ty
xy
=
(tx) 2 − (ty) 2 x 2 − y 2
⇒
y = zx, y′ = z′x + z; z′x + z =
dy
xy
.
=
dx x 2 − y 2
однородное ДУ 1-го порядка
⇒
z
dz
z3
dx
1− z2
′
=
=
z
dz =
;
;
;
2
2
3
dx
x
x(1 − z )
z
1− z
1− z2
1
dx
∫ z 3 dz = ∫ x + ln C ; − 2z 2 − ln z = ln x + ln C ;
2
2
1
− 2 = ln z + ln x + ln C ; ln e −1 2 z = ln Czx ; Czx = e −1 2 z ;
2z
Cy = e − x 2 y — общий интеграл ДУ.
2
2
y(2) = 1 ⇒ C ⋅1 = e−4 2 ⇒ C = e−2 ⇒
y = e 2 −( x
2
2 y2 )
— решение задачи Коши.
Задача 2. x 2 ( y′ − 1)= 2 xy − y ,
y(1) = 0 .
Решение. x 2 ( y′ − 1)= 2 xy − y ⇒ y′=
1-го порядка
⇒
2x − 1
y + 1 — линейное ДУ
x2
(
)
2x − 1
2x − 1
y=
uv, y′ =
u′v + v 'u; u′v + v 'u = 2 uv + 1; u′ − 2 u v =
1 − v 'u =
0.
x
x
2 x − 1 du 2 x − 1
du
2x − 1
1
=
u′
u; =
dx; ∫ = ∫ 2 dx; ln =
u 2ln x += ln( x 2e1 x );
u
u
x
x2
x2
x
u = x 2e1 x ⇒ v′ = = x −2e −1 x ⇒ v = ∫ x −2e −1 x dx + C = e −1 x + C;
1
u
=
y uv
= x 2 + Cx 2e1 x — общее решение ДУ.
y(1) =
0 ⇒ 0=
1 + Ce ⇒ C =
− e −1 ⇒
=
y x 2 (1 − e(1− x) x ) — решение задачи Коши.
3

4.

Задача 3. y′′′ = cos2 x .
Решение.
ДУ 3-го порядка вида y′′′ = f ( x)
⇒
1
1
y′′ =
− cos2 x + C1x + C2,
∫ y′′′dx + C1 =sin 2x + C1, y′ =
∫ y′′dx + C2 =
2
4
y=
− sin 2 x +
∫ y 'dx + C3 =
1
8
2
C1x
+ C2 x + C3 — общее решение ДУ.
2
′
x
y
4
Задача 4. y′′ + = x, y (1) = 0, y′(1) = .
Решение.
3
ДУ 2-го порядка не содержащее y
z
y′ = z( x), y′′ = z′ ⇒ z′ + = x — линейное ДУ
x
z =uv, z′ =u′v + v′u; ⇒ u′v + v′u +
uv
=x;
x
⇒
⇒
(u′ + ux ) v =x − v′u =0.
u du
dx
1
⇒
u′ =
− ;
=
− ; ∫ du =
−∫ dx; ln u =
− ln x ; u =
x
v′ =
u
x
u
x
x
x
x3
x 2 C1
= x 2 ⇒ v = ∫ x 2 dx + C1 =
+ C1 ⇒ z = y′ = uv =
+ .
u
3
3 x
x2 C
x3
y = ∫ + 1 dx + C2 = + C1 ln x + C2 — общее решение ДУ.
3 x
9
=
y′(1)
4
4 1
⇒ = + C1 ⇒ =
C1 1 ;
3
3 3
1
1
y (1) =
0 ⇒ 0 =+ C2 ⇒ C2 =
− ⇒
9
9
=
y
x3 − 1
+ ln x — решение задачи Коши.
9
2
Задача 5. 2 yy′′ + 4 y 2 =
3( y′) , y(0) = 3 , y′(0) = 6 .
Решение.
ДУ 2-го порядка не содержащее x
y′ = z( y), y′′ = z′y z ⇒ 2 yz′z + 4 y 2 = 3z 2; z′ =
ное ДУ
⇒
4
3z − 4 y
2 zy
2
2
⇒
— однород-

5.

z = uy, z′ = u′y + u ⇒ u′y + u =
2udu
dy
∫ u 2 −=4 ∫ y + ln C1 ,
u 2 − 4 2udu dy
3u 2 − 4
=
; u′ =
;
;
2u
2uy u 2 − 4 y
ln u 2 − 4= ln y + ln C1 ; ln u 2 − 4= ln C1 y ;
u 2 − 4 =C1 y; z 2 − 4 y 2 =C1 y 3; ( y′) 2 =4 y 2 + C1 y 3; y′ =± 4 y 2 + C1 y 3 ;
y(0) = 3,
⇒ 6=
± 4 ⋅ 32 + C133 ⇒ C1 =
+ 4 y2 =
±2 y;
0, y′ =
2y=
y′(0) = 6
y(0) = 3,
⇒ 6 =±2 ⋅ 3 ⇒ y′ =+2 y;
′
y (0) = 6
∫
∫
dy
dy
=
2 dx;
=+
2 dx C2; ln y =
2 x + ln C2 ; y =
C2e2 x;
y
y
y(0) = 3 ⇒ 3 = C2 ⋅1 ⇒ C2 = 3
⇒
y = 3e 2 x — решение задачи Коши.
Задача 6. y′′ + 4 y =
cos2 x ; y (0) = 0; y ′(0) = 1.
Решение. Линейное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью в виде квазимногочлена.
y′′ + 4 y = 0 ⇒ λ 2 + 4 = 0 — характеристическое уравнение;
λ = ±2i ⇒ yoo = C1 cos2 x + C2 sin 2 x — общее решение однородного
уравнения.
cos2 x= e0 [1⋅ cos2 x + 0 ⋅ sin 2 x] ;
0 + 2i =
2i — корень характеристического уравнения кратности 1 ⇒
yчн = x1e0 x [ A cos2 x + B sin 2 x]= x [ A cos2 x + B sin 2 x] — вид частного
решения;
′ [ A cos2 x + B sin 2 x] + x [−2 Asin 2 x + 2B cos2 x] ,
=
yчн
[ 4 Asin 2 x + 4B cos2 x] + x [−4 A cos2 x − 4B sin 2 x]
′′ =−
yчн
⇒
1
′′ + 4 yчн =−4 Asin 2 x + 4B cos2 x =⋅
yчн
1 cos2 x + 0 ⋅ sin 2 x ⇒ A =0, B =
4
⇒
1
4
yчн = x sin 2 x — частное решение ДУ ⇒
5

6.

1
4
yон = x sin 2 x + C1 cos2 x + C2 sin 2 x — общее решение (неоднородного)
ДУ.
1
1
y′он = sin 2 x + x cos2 x − 2C1 sin 2 x + 2C2 cos2 x ;
4
2
C1 = 0,
= C=
yон (0)
1 0,
⇒
′
1
(0) 2=
C2 1.
yон=
C2 = 2 .
=
y
⇒
x sin 2 x sin 2 x
— решение задачи Коши.
+
4
2
ex
Задача 7. y′′ − 2 y′ + y = 2 .
1+ x
Решение. Линейное ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
y′′ − 2 y′ + y= 0 ⇒ λ 2 − 2λ + 1= 0 — характеристическое уравнение;
λ1,2 = 1 ⇒ yoo = C1e x + C2 xe x — общее решение однородного уравнения.
Правая часть ДУ не является квазимногочленом
⇒
Метод Лагранжа: (e x )=′ e x , ( xe x )=′ e x + xe x .
=
yон C1( x)e x + C2 ( x) xe x , где
1
C′
′e x + C2′ xe x 0,
C=
=
,
C1′ + C2′ x 0,
2 = 1 + x2
1
x
⇒
1
x
e
x
x
;
C1′e + C2′ (e + xe ) =2 ; C1′ + C2′ (1 + x) =
C1′ = − x
1 + x2
1+ x
1 + x2
⇒
xdx
1
C ( x) =
−∫
+ C1 =
− ln(1 + x 2 ) + C1,
1
2
1 + x2
dx
C2 ( x=
) ∫
+ C=
2 arctg x + C2.
1 + x2
(
1
2
yон = e x C1 + C2 x + x arctg x − ln(1 + x 2 )
ного уравнения.
6
⇒
) — общее решение неоднород-

7.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 2.
Вариант 1.
1. y′ cos x − y sin x =
2x .
1. y′ + y tg x =
1.
2. y′ − e − y x +
2. x 1 + y 2 + yy′ 1 + x 2 =
0.
y
.
x
3. y 3 y′′ + 1 =
0,
′′ ( x + x −1) y′ .
3. y=
y(0) = 2 , y′(0) = 1 .
4. y′′ + 2 y′ + y =
x,
y(0) =
−1, y′(0) =
0.
4. y′′ − 6 y′ + 8 y =
xe3x ,
y(0) =
−1, y′(0) =
1.
8
.
sin 2 x
5. y′′ + 4 y =
1
5. y′′ + y = 3 .
cos x
Вариант 4.
Вариант 3.
1. y′(1 − x 2 ) − 2 xy =
1.
1. (1 + x 2 )sin y dy =
2. y′=
= cos y arctg x dx .
2. xy′ =
y
1
.
+
x ln y −ln x
3. yy′′ + ( y′) 2 =
y′ .
x2 − y 2 + y .
4. 4 y′′ + 4 y′ + y =
e− x 2,
2
′(0) 1 .
3. y′′ cos=
x 1, y=
(0) y=
′(0) 1 .
y=
(0) y=
4. y′′ + y′ =x + 2 .
1
5. y′′ + 2 y′ + 2 y =
1
.
cos2 x
5. y′′ + 4 y =
e x cos x
7
.

8.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 6.
Вариант 5.
1. y′ −
1. e y y′ =
(1 + e y )(2 x − x 2 ) .
y ln x ln x
.
=
x
x
y
sin .
( xy − y′) =
x
2
2. xy′ =
xe y x + y, y(1) =
0.
2.
3. (1 − y) y′′ + 2( y′) 2 =
0.
3. y′′ −
4. y′′ + 4 y′ + 4 y =
4e− x ,
4. y′′ − y′ =x + 1 ,
′(0) 0 .
y=
(0) y=
=
y(0) 0,=
y′(0) 1 .
1
5. y′′ − y′ =x
.
e −1
5. y′′ + 2 y′=
+ y 3e − x x + 1 .
Вариант 7.
Вариант 8.
1. y′sin x = y ln y .
2. y′=
y′
=
0.
4 y
1. yy′ − 2 y =
x.
y x
+ .
x y
2. y′ −
2
2y
=
x3e − x .
x
3. y′′ = 1 + y′ .
3. 2 xy′′ + y′ =
cos x .
4. y′′ − 8 y′ + 25 y =
2sin3x,
4. y′′ + 2 y′ + y =
4e− x ,
=
y(0) 1,=
y′(0) 0 .
=
y(0) 2,=
y′(0) 1 .
1
5. y′′ + y = 3 .
sin x
1
5. y′′ + 9 y = .
sin3x
8

9.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 10.
Вариант 9.
1. ( xy − x ) y′ + xy + y =
0.
1. ( y − 2 x)dx =
y dy .
2. ( y′ − x cos x) x =
y.
2. xy′ + 2 y =
e− x .
3. y′(1 + ( y′) 2 ) =
8 y′′ .
3. x3 y′′ + x 2 y′ =
1.
4. y′′ + y′ =
5x ,
4. y′′ + y′ =
− cos3x ,
2
=
y(0) 3,=
y′(0) 2 .
y=
(0) y′=
(0) 0 .
5. y′′ + 4 y =
4ctg 2 x .
1
5. y′′ + 2 y′ + y = x .
xe
Вариант 12.
Вариант 11.
1. y′sin x = y ln y .
1. (2 x + 1) y=′ 4 x + 2 y, y(0) = 1 .
2. ( x 2 + y 2 )dx − xy dy =
0.
2.=
xy′ y(ln y − ln x) .
3. x( y′′ + 1) + y′ =
0.
3. y′′= x + cos x .
4. y′′ + 5 y′ − 6 y =2 + 10 x − 6 x 2 ,
4. y′′ + 4 y′ + 4 y =
8e 2 x .
y(0) =
−5, y′(0) =
−12 .
6
cos2 x
5. y′′ + 4 y =
1
.
cos2 x
5. y′′ + 4 y =
9
.

10.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 14.
Вариант 13.
1. y′sin x − y cos x =
1,
y
1. sin x cos y dx − cos x sin y dy =
0.
( π4 ) = 22 .
2. xy′ =+
y
x2 + y 2 .
′(1) 1 .
3. xy′′ +=
y′ 0, y=
(1) 0, y=
2. xy 2 y=′ x3 + y 3 .
4. y′′ + 2 y′ + 2 y =+
1 x.
3. xy′′ + y′ =
x3 .
1
.
sin x
5. y′′ + y =
4. y′′ − y =
−x2 .
ex
5. y′′ − y =x
.
e +1
Вариант 15.
Вариант 16.
1. y′ − y tg x =
1 − sin x .
1. 3xy′sin
2. y 2 + =
x 2 y′ xyy′, =
y(e) e .
′′
3. y=
3y
3y
+ x − 3 y sin =
0.
x
x
2. x 2 y′ =
2 xy − 3, y(1) =
0.
1 + y′ .
′′ y′ + x .
3. y=
4. y′′ + y =
3sin 2 x .
4. y′′ − 4 y′ + 4 y =
8x,
5. y′′ + 4 y =
2tg2 x .
=
y(0) 0,=
y′(0) 1 .
5. y′′ + 4 y =
ctg2 x .
10

11.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 18.
Вариант 17.
1. xy′ − ( y − 3x)ln
( xy − 3) =y,
1. y + x 2 + y 2 − xy′ =
0,
y(1) = 0 .
y(1) = 10 .
1
cos x
2. y′ + y =
ex .
2. y′ + y tg x =.
3. y′′ = xe x .
3. 2xy′′ = y′ .
4. y′′ − 3 y′ + 2 y =
ex .
4. y′′ − 2 y′ − 3 y =
sin x .
ex
5. y′′ − 2 y′ + y = .
x
1
.
cos x
5. y′′ + y =
Вариант 20.
Вариант 19.
1. y′ =
x+ y
.
x −2 y
1. ( xy + e x )=
dx x dy, y=
(1) 1 .
2. ( x 2 − y 2 ) y′ =
2 xy .
2. (1 + x) y′ + y = 1 − x 2 .
′′ y′ + ( y′) 2 .
3. y=
3. y′′ = ( y′) 2, y(0) = 1, y′(0) = −1 .
4. y′′ + 3 y′ =
4 xe x .
4. y′′ − y =
3x 2 .
5. y′′ + y =
tg 2 x .
5. y′′ + 4 y =
cos 2 x .
11

12.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 22.
Вариант 21.
y y 2y
+ ln .
x x
x
1. y′=
y
x
1. y′ −= x(e x 2 − sin x) .
2. xy′ − y =
xe y 3x .
x
2
2. y′ − xy + e x 2 sin =
0.
2
3. y′′ 2 yy′=
=
, y(1) 0,=
y′(1) 1 .
3. y′′(1 − x) + y′ =
0,
4. y′′ + 16 y =
sin 4 x .
y=
(0) y′=
(0) 1 .
ex
5. y′′ − y′ = x .
1+ e
4. y′′ − 6 y′ + 10 y =
sin 2 x .
1
.
sin 2 x
5. y′′ + 4 y =
Вариант 24.
Вариант 23.
1.
4 + y2
x + 4x + 3
2
=
1. (2 xy − x)dy + y dx =
0.
3y + 2
y′ .
2x + 4
2.=
=
xy′ − y x 2 ln
x, y(1) 1 .
2. 2( x + y)dx
= dy, y(1)
= 0.
3. y′′ = y′e y .
′2
3. 2( y )= ( y − 1) y′′ .
4. y′′ + 4 y =
−4e
−2 x
4. y′′ − 2 y′ + 5 y =
e − x sin 2 x .
.
e− x
5. y′′ + 2 y′ + y = .
x
2
5. y′′ + y = .
sin x
12

13.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 26.
Вариант 25.
1. y dx + ( 2 xy − x ) dy =
0,
1. =
y′
y(1) = 1 .
y2 y
+ .
x2 x
2. (1 + x 2 ) y′ + xy =
1.
2. (1 − x) y′ + y =1 − x .
3. y′′ + 2 y( y′)3 =
0.
3. xy′′ + y′ =
0.
4. y′′ − 4 y =
8x 3 ,
4. y′′ + 2 y′ + y =
3e − x .
=
y(0) 0,=
y′(0) 1 .
1
5. y′′ + y = 3 .
sin x
e2x
5. y′′ − 4 y′ + 5 y = .
cos x
Вариант 27.
Вариант 28.
1. xy′ −=
xy e x , =
y(1) e .
1. xy′ + y −=
3x 2 0, =
y(1) 0 .
3 ′
2. 2 x=
y (2 x 2 − y 2 ) y .
2.
3. y′′ + ( y′) 2 =
0.
ds s t
= − .
dt t s
3. y′′ = 1 + ( y′) 2 .
′(0) 2 .
4. y′′=
− y 1, y=
(0) 1, y=
4. y′′ − 4 y′ + 3 y =
2x .
1
5. y′′ + 4 y = .
sin 2 x
e− x
5. y′′ + 2 y′ + 5 y = .
sin2 x
13

14.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 30.
Вариант 29.
(
1. xy′ =
y 1 + ln
2.
)
1. ( xy′ − 1)ln=
x 2 y, y(e=
) 1.
y
e.
, y(1) =
x
1+ cos2 x
sin 2 x
dy +
dx =
0.
1+sin y
cos y
3. xy′′ − y′ =
x2 .
2. y′=
y
x
+
.
x x− y
′′
3. y=
1 − ( y′) 2 .
′(0) 1 .
4. y′′ +=
y′ x, y=
(0) 3, y=
4. y′′ + 2 y′ + 10 y =
3e − x .
e2x
5. y′′ − y′ =
.
1 − e2x
5. y′′ − 2 y′ + y =
x −2e x .
Вариант 31.
Вариант 32.
( 1x )
1. ( xy + y 2 )dx − x 2 dy =
0,
−x
1. y′ +=
1 + y 3xe=
, y(1) 0 .
y(1) = 1 .
2. x3 y=′ y 3 + x 2 y .
2. ( x + 1) y′ − 2 y =( x + 1) 4 .
3. 5 y′ + xy′′ =
0.
3. yy′′ + ( y′) 2 + y′ =
0.
4. y′′ − y′ =
ex .
4. y′′ − 4 y′ + 3 y =
sin x .
5. y′′ + y =
ctg x .
1
5. y′′ + 2 y′ + 5 y =
.
e x cos x
14

15.

В каждом примере задания необходимо
1. определить тип ДУ (дифференциального уравнения);
2. если нет начальных условий, то найти общее решение (общий
интеграл) ДУ; если заданы начальные условия, то найти решение
задачи Коши.
Вариант 34.
Вариант 33.
1. (1 + x 2 ) y′ =
1− y .
y
− x sin x .
x
1. y′=
y
x
2. xy′ = y ln .
2. y′(1 + x 2 )arcsin y + 1 − y 2 =
0.
3. yy′′ = ( y′) 2 .
3. y′′ + sin 2 =
0.
x
2
4. y′′ + 6 y′ + 9 y =x + 3,
4. y′′ + 5 y′ = 5x 2 − 14 x + 6,
′(0) 0 .
y=
(0) y=
=
y(0) 0,=
y′(0) 1 .
1
.
cos2 x
5. y′′ + 4 y =
1
5. y′′ + y = 3 .
cos x
Вариант 35.
Вариант 36.
1. ( x + 1) y′ + 4 =
y.
1. 2 x tg y dx + (4 + x 2 )dy =
0.
2. y′ − y ctg x =
cos x .
2. xy′ =+
y
x2 + y 2 .
3. y′′ −
y′
=
x 2 ln x .
x
3. y′′ +
2
( y′) 2 =
0.
1− y
4. y′′ − 2 y′ + y= 2 x 2 + 3 ,
4. y′′ + 2 y′ = (3x 2 + 11x)e x ,
′(0) 0 .
y=
(0) y=
y(0) = y′(0) = −3 .
e7 x
5. y′′ − 14 y′ + 49 y =.
x
2
5. y′′ + y = 3 .
sin x
15

16.

Ильичева Татьяна Петровна, канд. физ.-мат. наук, доц.
Кузнецов Владимир Олегович, канд. физ.-мат. наук, доц.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания
198035, Санкт-Петербург, Межевой канал, 2
Тел. 812-748-97-19, 748-97-23
e-mail:izdat@gumrf.ru
Ответственный за
выпуск
Корректура и
компьютерная
верстка
Подписано в печать
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman
Усл. печ. л. 1,0. Тираж экз. Заказ № /2018
16