Иррациональные уравнения

1.

Иррациональные
уравнения

2. Иррациональные уравнения

Определение
Методы решения:
I) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
II) Оценка ОДЗ.
III) Замена переменной.
IV) Оценка области значений.
V) Специальные методы:
1) Замена переменной.
2) Выделение полного квадрата.
а) Под корнем.
б) В самом уравнении (сведение к однородным).
3) Умножение на сопряженное (использование формулы a 2 b 2, a 3 b 3 ).

3. Иррациональные уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком радикала,
называется иррациональным.
x 6 2
Примеры:
5
1 3x 3

4. I) Возведение обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

Иррациональные уравнения
I) Возведение обоих частей уравнения в одну и ту же степень.
При возведении в нечетную степень равносильность сохраняется. При возведении
в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому необходима
проверка или составление равносильной системы.
ОДЗ не гарантирует равносильность
Примеры: 1) 2 x 3 x 2
Решение: 2x 3 x 2
Проверка: x 1
Если x=1, то 2 x 3 и x 2 не имеют смысла
1 – не является корнем
Ответ: Ø

5. I) Возведение обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

Иррациональные уравнения
I) Возведение обоих частей уравнения в одну и ту же степень.
Примеры: 2)
x 2 x 8
Решение:
I Способ:
x 2 ( x 8) 2
x 17 x 66 0
x 6
x 11
2
Проверка:
Если x 11 , то
11 2 11 8
3 = 3 - верно
11 - корень уравнения
Если x 6 , то
6 2 6 8
2 ≠ -2 - неверно
6 – не является корнем
Ответ: 11
II Способ:
g ( x ) 0,
f ( x) g ( x )
f ( x) g 2 ( x)
2
Здесь f ( x) 0 т.к оно g ( x)
x 8 0
x 2 ( x 8) 2
x 8
x 11
x 6
x 11
Ответ: 11

6. I) Возведение обоих частей уравнения в одну и ту же степень.

Иррациональные уравнения
I) Возведение обоих частей уравнения в одну и ту же степень.
Примеры: 3)
x2 5 2
Решение:
f ( x) g ( x ) x 2 5 4
x2 9
x 3
Ответ: 3
2
равносильно, т.к. f ( x) g ( x) и g ( x) 2 0

7. I) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Иррациональные уравнения
I) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Примеры:
4) 4 3 x 6 5x
2
3
5) x 1 x x 1
Решение:
Уединим радикал
Решение:
16(3 x) (5x 6) 2
25 x 44 x 12 0
2
x 6 / 25 или x 2
Проверка.
Ответ: 2
( x 1) 3 x 2 x 1
x 3 4x 2 4x 0
x 0 или x 2
Ответ: 0; 2
Проверка не нужна!
Почему?

8. II) Оценка ОДЗ.

Иррациональные уравнения
II) Оценка ОДЗ.
Иногда для решения иррациональных уравнений достаточно оценить ОДЗ.
Примеры:
6)
3 x x 7 2
7) ( x 2 x) 18 2 x 2 2 x x 2 5x 6 5x x 2
Решение:
Решение:
ОДЗ:
ОДЗ:
x 2 0
3 x 0
x 7 0
x 7
x 3
Ответ: Ø
( x 2)( x 3) 0
2(3 x)(3 x) 0
x 2 0
x 3 0
3 x 0
x 3
x 3
Ответ: Ø

9. III) Замена переменной.

Иррациональные уравнения
III) Замена переменной.
Примеры:
8) x 3 6 4 x 3
Решение:
Пусть t 4 x 3, t 0 тогда
t2 t 6 0
t 3, t 2 - не удовлетворяет условию
x 3 3
x 34 3 84
4
Ответ: 84
9) x 2 x 4 x 2 x 1 2x 2 2x 9
Решение:
t x2 x 1 , t 0
t 3 t 2t 7 , возведем в квадрат
t 1, t 4 - не удовлетворяет условию
x2 x 1 1
x 0, x 1
Ответ: 0; 1.

10. IV) Оценка области значений.

Иррациональные уравнения
IV) Оценка области значений.
Пример:
10) x 2 x 1 2
Решение:
x 2 0 и x 1 0 при любом х из области определения
x 2 x 1 0
Ответ: Ø

11. V) Специальные методы.

Иррациональные уравнения
V) Специальные методы.
1) Замена переменной.
Пример: 2x 2 6 2 2x 2 3x 2 3x 12
Решение:
Пусть t 2x 2 3x 2
t 0 , тогда
t 2 2 x 2 3x 2
t 2 8 2 x 2 3x 6 2 x 2 3x 2 8
2
т.е. t 2t 8 0
t 4, t 2 т.к. t 0, то
2 x 2 3x 2 4
2 x 2 3 x 14 0 - равносильно
x 2, x 7 / 2
Ответ: -2; 7/2
Равносильность не нарушена,
т.к.
2
( a ) 2 a , a 0 т.е f ( x) a

12. V) Специальные методы.

Иррациональные уравнения
V) Специальные методы.
2) Выделение полного квадрата.
а) Под корнем
Пример 1: 4 x 2 12 9 2
Решение:
2x 3 2
2x 3 2
2x 3 2
x 2,5
x 1/ 2
Ответ: 2,5; 1/2

13. V) Специальные методы.

Иррациональные уравнения
V) Специальные методы.
2) Выделение полного квадрата.
а) Под корнем
Пример 2: x 2 4 x 2 x 1 2 x 2 1
Решение:
( x 2 2) 2 ( x 2 1) 2 1
x 2 2
x 2 1 1
D( x 2 ) 2;
Нули подмодульных выражений:
x 2 2 0 или x 2 1 0
x 2 4
x 2 1
x 6
x 3
6 и 3 - нули
1. 2;3
x 2 2 x 2 1 1
1 1
Ответ: [2;3]
Функция не
определена
2
3
2. 3;6
x 2 2 x 2 1 1
2 x 2 2
x 3
6
3. 6;
x 2 2 x 2 1 1
1 1

14. V) Специальные методы.

Иррациональные уравнения
V) Специальные методы.
2) Выделение полного квадрата.
б) В самом уравнении или сведение к однородному.
Пример: 4 x 4
5x 2 5x 2
x 2
Решение:
4
2 x 1
x 2
5x 2
x 1
x 1
x 2
5x 2
x 1
2
x 2
x 1
0
2
0
4( x 1)
5x 2
x 2
x 1 ; x 2 , x 1
4( x 1) 2 x 2 5x 2 возведем в квадрат
(4( x 1) 2 ( x 2)(5x 2))( 4( x 1) 2 ( x 2)(5x 2)) 0
( x 2 20 x)( 4 x 2 x 8) 0
x 0, x 20
Ответ: -20
a
x 1
x 2
b
5x 2
x 1
4a 2 4ab b 2 0
2
a
a
4 4 1 0
b
b

15. V) Специальные методы.

Иррациональные уравнения
V) Специальные методы.
2
2
3
3
3) Умножение на сопряженное (использование формулы a b , a b ).
Пример: x 2 x 2 x
x 2 x 2
Решение:
x 2 x 2
x 2 ( x 2)
2
2
x
2
x 2 2 x2 4 x 2 x
4
2
x2 4 0
x 2 , x 2
Ответ: 2