§ 12. Биномиальный закон распределения

1.

§ 12. Биномиальный закон распределения
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из
которых событие A может произойти или не произойти; вероятность
наступления события A во всех испытаниях одинакова и равна p,
вероятность не появления события A также одинакова и равна q 1 p ;
дискретная случайная величина X – число появлений события A в
испытаниях. В n испытаниях событие A может не появиться, или
появиться 1 раз, 2 раза, …, n раз, возможные значения случайной
величины X равны x1 0, x 2 1, ..., x n 1 n , а соответствующие
вероятности определяются по формуле Бернулли
Pn k Cnk p k q n k ,
где 0 p 1, k 0, 1, ..., n . Эта формула является аналитическим
выражением биномиального закона распределения. Закон назван
биномиальным потому, что правую часть равенства можно
рассматривать как общий член бинома Ньютона
k n
p q Cnk p k q n k Cnn p n Cnn 1 p n 1q Cnk p k q n k Cn0 q n .
n
k 0

2.

Пример. Монета брошена три раза. Написать в виде таблицы закон
распределения случайной величины X – числа выпадений орла.
Решение. Вероятность появления орла в каждом бросании монеты
одинакова и равна p 0,5 , вероятность не появления орла равна
q 1 p 0,5 . Возможные значения случайной величины X равны:
x1 3, x 2 2, x 3 1, x 4 0 , а соответствующие вероятности равны:
P3 3 C 33 p 3 1 1 2 3 0,125 ,
P3 2 C 32 p 2 q 3 1 2 0,375 ,
3
P3 1 C 31 pq 2 3 1 2 0,375 ,
3
P3 0 C 30 q 3 1 1 2 0,125 .
Следовательно, искомый закон распределения имеет вид
xi
3
2
1
0
pi
0,125
0,375
0,375
0,125
3

3.

§ 13. Математическое ожидание дискретной случайной
величины
Математическим ожиданием M (X ) дискретной случайной
величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений
на соответствующие вероятности:
n
M ( X ) xi pi x1 p1 x2 p2 ... x n pn .
i 1
где
pi – вероятность появления значения xi,
n – число возможных значений случайной величины X.
Математическое ожидание обозначают латинскими буквами a, m
или mx, оно имеет размерность рассматриваемой случайной величины.
Математическое ожидание является неслучайной (постоянной)
величиной.
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины X,
зная ее закон распределения:
xi
2
4
1
pi
0,2
0,5
0,3
Решение. M ( X ) 2 0,2 4 0,5 1 0,3 2,7 .

4.

Средним арифметическим наблюдаемых значений дискретной
случайной величины X называют величину
x1n1 x2 n2 xi ni ... xk nk
X
x1w1 x2 w2 xi wi ... xk wk ,
N
где ni – число испытаний, при которых случайная величина X приняла
значение xi,
wi ni N – относительная частота значения xi,
N – общее число испытаний, N ni n1 n2 ... nk .
i
При большом числе испытаний относительная частота приближенно
равна вероятности появления события
w1 p1 , w2 p2 , ..., wi pi , ..., wk pk ,
и можно принять
X M X .
Эта формула показывает вероятностный смысл математического
ожидания: математическое ожидание приближенно равно среднему
значению измеряемой величины и является пределом, к которому
стремится среднее значение измеряемой величины при неограниченном
возрастании числа измерений.

5.

§ 14. Свойства математического ожидания
По определению:
1) произведение постоянной величины C на дискретную случайную
величину X есть дискретная случайная величина CX, возможные
значения которой равны произведениям постоянной C на возможные
значения случайной величины X;
2) вероятности возможных значений случайной величины CX равны
вероятностям соответствующих возможных значений случайной
величины X;
3) две случайные величины называют независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит от того, какие возможные
значения приняла другая величина;
4) произведение независимых случайных величин X и Y есть
случайная величина XY, возможные значения которой равны
произведениям каждого возможного значения случайной величины X на
каждое возможное значение случайной величины Y;
5) вероятности возможных значений случайной величины XY равны
произведениям вероятных значений сомножителей.

6.

6) сумма случайных величин X и Y есть случайная величина X Y ,
возможные значения которой равны суммам каждого возможного
значения случайной величины X с каждым возможным значением
случайной величины Y,
7) вероятности возможных значений X Y для независимых
величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, для
зависимых величин они равны произведениям вероятности одного
слагаемого на условную вероятность другого.
Можно доказать, что:
1) Математическое ожидание постоянной величины C равно самой
постоянной:
M C C .
2) Постоянный множитель С можно выносить за знак
математического ожидания:
M CX C M X .
3) Математическое ожидание произведения двух независимых
случайных величин X и Y равно произведению их математических
ожиданий
M XY M X M Y .

7.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y
равно сумме математических ожиданий слагаемых:
M X Y M X M Y .
Пример. Найти математическое ожидание случайной величины XY,
если независимые случайные величины X и Y заданы законами
распределения:
X
4
2
3
Y
1
5
p
0,5
0,2
0,3
p
0,8
0,2
Решение. M X 4 0,5 2 0,2 3 0,3 3,3 ,
M Y 1 0,8 5 0,2 1,8 , откуда
M XY M X M Y 3,3 1,8 5,94 .
Пример. Производится два выстрела с вероятностями попадания
p1 0,4 , p 2 0,3 . Найти математическое ожидание числа попаданий.
Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная
величина X, которая может принимать только два значения: 1
(попадание) с вероятностью p1 0,4 и 0 (промах) с вероятностью
q1 1 p1 0,6 . Математическое ожидание числа попаданий при первом
выстреле равно
M X 1 0,4 0 0,6 0,4 .

8.

Число попаданий при втором выстреле есть случайная величина Y,
которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с
вероятностью p 2 0,3 и 0 (промах) с вероятностью q2 1 p 2 0,7 .
Математическое ожидание числа попаданий при втором выстреле равно
M Y 1 0,3 0 0,7 0,3 .
По теореме о математическом ожидании суммы имеем
M X Y M X M Y 0,4 0,3 0,7 .
§ 15. Математическое ожидание числа появлений события в
независимых испытаниях
Рассмотрим случайную величину X – число появлений события A в
n независимых испытаниях.
Теорема. Математическое ожидание M(X) числа появлений события
A в n независимых испытаниях с одинаковой вероятностью p равно
M X np .
Пример. Вероятность сдачи зачета равна p 0,4 . Найти математическое
ожидание числа сдач зачета, если будет сделано 5 попыток.
Решение. Сдача зачета при каждой попытке не зависит от исходов
других попыток. Поэтому сдачи зачета – события независимые, и
M X np 0,4 5 2 .

9.

§ 16. Дисперсия дискретной случайной величины
Отклонением случайной величины X от ее математического
ожидания M(X) называют разность между случайной величиной и ее
математическим ожиданием X M X .
Дисперсией D(X) случайной величины называют математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания
2
D( X ) M X M X .
Дисперсия позволяет оценить рассеяние возможных значений случайной
величины вокруг ее математического ожидания.
Пусть закон распределения дискретной случайной величины X
задан в виде таблицы
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
Для того чтобы отклонение приняло значение xk M X , случайная
величина X должна принять значение xk , вероятность которого равна pk.
Следовательно, вероятность того, что случайная величина X M X
примет значение xk M X также равна pk. Следовательно, закон
распределения отклонения имеет следующий вид

10.

xn M X
X M X x1 M X x 2 M X
…
P
p1
p2
…
pn
Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
M X M X 0 .
Пусть закон распределения дискретной случайной величины X
задан в виде таблицы
X
x1
x2
…
xn
p
p1
p2
…
pn
Если вероятность того, что случайная величина X примет значение xk
равна pk, то вероятность того, что случайная величина X M X 2
2
примет значение xk M X также равна pk. Следовательно, закон
распределения квадрата отклонения имеет следующий вид
x n M X 2
…
X M X 2 x1 M X 2 x 2 M X 2
P
p1
p2
…
pn
Тогда получим
2
2
2
D( X ) x1 M X p1 x2 M X p2 ... xn M X pn .

11.

Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной
законом распределения
X
1
2
3
p
0,3
0,5
0,2
Математическое ожидание случайной величины X равно
M X 1 0,3 2 0,5 3 0,2 1,9 .
Возможные значения квадрата отклонения случайной величины X равны
x1 M X 2 1 1,9 2 0,81 ,
x2 M X 2 2 1,9 2 0,01 ,
x3 M X 2 3 1,9 2 1,21 .
Следовательно, закон распределения квадрата отклонения имеет вид
0,81
0,01
1,21
X M X 2
p
0,3
0,5
0,2
Дисперсия случайной величины X равна
D ( X ) 0,81 0,3 0,01 0,5 1,21 0,2 0,243 0,005 0,242 0,49 .

12.

Теорема. Дисперсия случайной величины X равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной величины X и
квадратом ее математического ожидания:
D X M X 2 M 2 X .
Пример. Найти дисперсию случайной величины X, заданной
законом распределения
X
1
2
3
p
0,1
0,6
0,3
Следовательно, закон распределения случайной величины X2 имеет вид
X2
1
4
9
P
0,1
0,6
0,3
Математическое ожидание случайной величины X равно
M X 1 0,1 2 0,6 3 0,3 2,2 .
Математическое ожидание случайной величины X2 равно
M X 2 1 0,1 4 0,6 9 0,3 5,2 .
Следовательно, искомая дисперсия равна
D X M X 2 M 2 X 5,2 2,2 2 0,36 .