Введение декартовых координат в пространстве. Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками

1.

Раздел «Координаты и векторы в
пространстве»
Тема: «Введение декартовых координат в
пространстве.
Формулы середины отрезка и расстояния между
двумя точками»

2.

-Вы уже знакомы с прямоугольной
(Декартовой) системой координат на
плоскости, которую
в XIX в. ввёл
французский
математик
Рене Декарт

3.

А теперь, что мы подразумеваем под координатной
плоскостью.
у
М
b
1
х
0
1
M(a; b)
а

4.

-А, вот, прямоугольную систему
координат в пространстве ввёл
швейцарский математик
Леонард Эйлер
в XVIIIв.

5.

Выберем в пространстве три
попарно перпендикулярные
координатные прямые x, y, z,
пересекающиеся в одной
точке 0, соответствующей
началу координат каждой оси.
z
Ox Oy Oz
Пунктиром показаны
отрицательные части
осей.
1
1
0
1
y
x
Координатные оси:
Ox – ось абсцисс
Oy – ось ординат
Oz – ось аппликат

6.

В прямоугольной системе координат каждой точке
М пространства сопоставляется тройка чисел –
её координаты: М (х, у, z), где х – абсцисса, у –
ордината, z - аппликата.

7. Построение точек в прямоугольной системе координат

1.
А(3;6;5) На оси Ох- отметить 3
единичных отрезка и провести
прямую через эту точку, причем
параллельную оси Оу
2.
На оси Оу отметить два единичных
отрезка и провести прямую через эту
точку, причем параллельную оси Ох
3.
Через точку пересечения двух прямых
провести прямую параллельную оси
Оz, и отметить на ней 5 единичных
отрезков вверх.
z
А
0
х
3
6
у

8. 1). Если одна из координат точки равна 0, то точка лежит в одной из координатных плоскостей; (например, MOyz, NOxz, KOxy).

Отметим некоторые свойства координат точек:
z
M(0; −2; 3)
3
N(−2; 0; 1)
1
−2
−2
1 S(0; 2; 0)
0
P(2; 0; 0)
1
2
x
−2
3
2
y
K(1; 3; 0)
R(0; 0; −2)
1). Если одна из координат точки равна 0, то точка лежит в одной из координатных
плоскостей; (например, M Oyz, N Oxz, K Oxy).
2). Если две координаты точки равны 0, то точка принадлежит одной из
координатных осей; (например, P Ox, S Oy, R Oz).

9.

Точка лежит
в координатной
на оси
плоскости
Ох
Оу
Оz
Oxy
Oyz
Oхz
(х,0,0)
(0,у,0)
(0,0,z)
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)

10.

z
I
I
I
A(-1; 3;-6)
I
I
I
С
I
I
I
I
В
Найдите координаты
точек А, В, С
I
B(-2;-3; 4)
I
O
I
I
I
I
I
I
x
I
I
I
I
I
I
I
А
I
y
C( 3;-2; 6)

11. Формулы середины отрезка и расстояния между точками на плоскости.

x1 x2 y1 y2
М
;
2
2
АВ
x2 x1 y2 y1
2
2

12. Формулы середины отрезка и расстояния между точками в пространстве.

x1 x2 y1 y2 z1 z 2
М
;
;
2
2
2
АВ
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2
2
2

13. Задача № 2.

Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)
Найдите координаты
середины отрезка АВ и
его длину.

14. Самостоятельная работа

№1.
Отметьте точки в прямоугольной
системе координат в
пространстве:
A(2;2;4), В(-3;-4;-5), С(-1;2;-3),
О(0;2;3), К(0;0;4).
№2.
Найдите координаты середины
отрезка АВ и длину отрезка АВ,
если:
а) А (3;-1), В (-2;4);
б) А(3;4;-6), В(-5;-3;-8).