Линейная и векторная алгебра

1. Линейная и векторная алгебра

матрицы
определители
обратная матрица
ранг матрицы
системы линейных уравнений
элементы векторной алгебры

2. матрицы

Определение матрицы
Виды матрицы
Равенство матриц
Сложение матриц
Умножение матрицы на число
Умножение матриц

3. Определение матрицы

Общий вид записи
матрицы из m x n чисел:
a11
a21
D
BA ...
C
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
Прямоугольная таблица,
составленная из m x n чисел,
называется матрицей.
Для обозначения матрицы
применяются круглые
скобки и прописные буквы A,
B, C …
Числа a11, a12, … , amn,
составляющие матрицу,
называются
её элементами.

4.

Горизонтальные ряды матрицы называются строками
матрицы
вертикальные - столбцами.
Индексы i и j элемента aij, где i=1, 2, …, m, j=1,2, ..., n,
означают, что этот элемент расположен в i-й строке и j-м
столбце.
a11
a 21
A
...
a
m1
a12
a 22
...
am 2
...
...
a ij...
...
a1 n
a2 n
...
a mn
Матрица обозначается также в форме A(aij)mxn, где i=1, 2, …,
m, j=1, 2, …, n.

5. Виды матриц

Квадратная матрица
Диагональная матрица
Единичная матрица
Матрица-строка и матрица-столбец
Транспонированная матрица

6. Квадратная матрица

Матрица, у которой
a11 a12
число строк равно
a21 a22
числу ее столбцов
a11
называется
квадратной матрицей.
a21
При этом число ее
a
строк (столбцов)
31
называется порядком a11 a12 a13 a14
матрицы.
a21 a22 a23 a24
a
a32
31
a
41 a42
a33
a43
a34
a44
a12
a22
a32
a13
a23
a33

7. Квадратная матрица

a11
a21
A
...
a
m1
a12
a22
aij
am 2
... a1m
... a2 m
... ...
... amm
Числа a11, a22, …, ann образуют
главную диагональ матрицы,
а числа an1, a(n-1)2, …, a1n
побочную диагональ.

8. Диагональная матрица

Квадратная матрица,
у которой
все числа, не стоящие
на главной диагонали,
равны нулю,
называется
диагональной
матрицей.
a11 0
0 a22
A
0
0
0
0
0
0
aij
0
0
0
0
amm

9. ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА

Диагональная
матрица, у которой
все элементы главной
диагонали равны
единице,
называется
единичной
матрицей.
Единичную матрицу
обозначают
прописной буквой Е.
1
0
E
...
0
Е
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1

10. Матрица-строка

Матрица-столбец
Матрица, состоящая
только
из одной строки,
называется
матрицей-строкой.
A a11 a12 ... a1n
Матрица, состоящая
только
из одного столбца,
называется
матрицей-столбцом.
a11
a21
A
...
a
m1

11. Транспонированная матрица

Матрица называется
транспонированной
по отношению к
матрице А, если
столбцы матрицы
являются
соответствующими
строчками матрицы.
a11
a21
A
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11
a
AT 12
...
a
1n
a21
a22
...
a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn

12. РАВЕНСТВО МАТРИЦ

Две матрицы А и В называются равными
(A=B), если они имеют одинаковые
размеры и равные соответствующие
элементы.

13. СУММА МАТРИЦ

матриц A=(aij) и
a11 a12 b11 b12 Суммой
B=(bij) одинаковой
размерностью mxn называется
a
a
b
b
21 22 21 22
матрица С=(cij) = A(aij)+B(bij)
a11 b11 a12 b12
a21 b21 a22 b22
тех же размеров , что и
заданные матрицы, элементы
которой определяются
правилом для всех cij=aij+bij,
для всех i=1, 2, … , m, и j=1, 2,
… , n.
Сумма матриц подчиняется переместительному и
сочетательному законам, т.е. А+В=В+А и
(А+В)+С=А+(В+С).

14. СУММА МАТРИЦ

a12
...
a1n b11
a11
a22
...
a2 n b21
a21
...
...
...
...
...
a
am 2
... amn
m1
bm1
a12 b12
...
a11 b11
a22 b22
...
a21 b21
...
...
...
a
am 2 bm 2
...
m1 bm1
b12
b22
...
...
...
...
bm 2
...
a1n b1n
a2 n b2 n
...
amn bmn
b1n
b2 n
...
bmn

15. Умножение матрицы на число

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
k
...
... ... ...
a
a
...
a
m2
mn
m1
ka11 ka12 ... ka1n
ka21 ka22 ... ka2 n
...
...
...
...
ka
ka
...
ka
m2
mn
m1
Произведением
матрицы A=(aij)
размеров mxn на
число k называется
матрица B=(bij) тех же
размеров, что и
матрица А, элементы,
которой
определяются
правилом bij=kaij, для
всех i=1, 2, … , m, и
j=1, 2, … , n.

16. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Пусть заданы матрица А размеров mxn и
матрица В размеров nxp, т.е. такие, что
число столбцов первой равно числу строк
второй матрицы. Выберем строку с
номером i из матрицы А и столбец с
номером j из матрицы В. Умножим каждый
элемент ai1, ai2, …, ain выбранной строки
на соответствующий элемент b1j, b2j, …, bnj
выбранного столбца и сложим
полученные произведения, т.е. составим
сумму cij= ai1 b1j+ ai2 b2j+…+ ain bnj.

17. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Произведением матрицы А размеров
mxn на матрицу В размеров nxp
называется матрица размеров mxp ,
элементы которой определяются по
формуле cij= ai1 b1j+ ai2 b2j+…+ ain
bnj для всех i=1, 2, … , m, и j=1, 2, … , p.

18. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n
a21 a22 ... a2n b21 b22 ... b2n
... ... ... ... ... ... ... ...
a a ... a b b ... b
mn
m2
mn m1
m1 m 2
a11 b11 a12 b21 ... a1n bm1 a11 b12 a12 b22 ... a1n bm 2 ... a11 b1n a12 b2n ... a1n bmn
a21 b11 a22 b21 ... a2n bm1 a21 b12 a22 b22 ... a2n bm 2 ... a21 b1n a22 b2n ... a2n bmn
...
...
...
...
a b a b ... a b a b a b ... a b ... a b a b ... a b
mn mn
m2 2n
m1 1n
mm m1
m 2 22
m1 12
mn m1
m1 11 m 2 21

19. Определитель второго порядка

a11 a12
A
a21 a22
a11 a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21
Определитель второго
порядка,
соответствующий заданной
матрице A –
число, равное
разности произведений
элементов, расположенных
на главной
и побочной его диагоналях.

20.

a11 a12
a21 a22
Определитель не измениться,
если его строки поменять
местами с соответствующими
столбцами
a11
=
a12
a21
a22
a11 a12 a21
=a21 a22 a11
a22
a12
При перестановки местами
двух строк определитель
меняет свой знак на
противоположный
a11 a12
a12
=a21 a22 a22
a11
a21
При перестановки местами
двух столбцов определитель
меняет свой знак на
противоположный
a11 a12
a11 a12
0
Определитель ,
a11
имеющий две
одинаковые строки, a
21
равен нулю
Определитель ,
имеющий два
0
a21
одинаковых столбца,
равен нулю
a11

21.

1
a11
a12
a21 a22
Если все элементы
какой-либо строки
определителя умножить
на одно и то же число,
то определитель
умножится на это число
ka11 ka12
k 1
a21 a22
Если все элементы
какого-либо стролбца
11
12
определителя умножить
1
на одно и то же число,
то определитель
21
22
умножится на это число
Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести
за знак определителя.
ka
ka
a11
a12
ka11 ka12
0
a11 ka11
0
a21 ka21
a
k
a
Определитель, у которого элементы
двух его строк пропорциональны,
равен нулю.
Определитель, у которого элементы
двух его столбцов пропорциональны,
равен нулю.

22.

Если каждый элемент какой-либо строки
a11 a
a12 a
определителя есть сумма двух
слагаемых, то определитель равен сумме
a21
a22
двух определителей, у одного из них
*
*
a11 a12 a11 a12 a12 элементами соответствующей строки
являются первые слагаемые, у другого –
a21 a22 a21
a22
вторые. Оставшиеся элементы этих
*
определителей те же, что и у данного.
a11 a11
a12
Если каждый элемент какого-либо
столбца определителя есть сумма двух
*
a21 a21 a22
слагаемых, то определитель равен сумме
двух определителей, у одного из них
*
a11 a12 a11 a12 элементами соответствующего стролбца
*
являются первые слагаемые, у другого –
a21 a22 a21 a22 вторые. Оставшиеся элементы этих
определителей те же, что и у данного.
*
11
*
12

23.

Определитель не
изменится, если к
элементам какой-либо его
строки прибавить
соответствующие
элементы другой строки,
умноженные на одно и то
же число.
a11
a21
a12
a22
a11 ka12
a21 ka22
a11 a12
a21 a22
a11 ka12
a21
a12
a22
a12 ka22
a22
Определитель не изменится,
если к элементам какого-либо
его столбца прибавить
соответствующие элементы
другого столбца, умноженные
на одно и то же число.

24.

a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a22
a23
a32
a33
a13
a23
a33
a13
a23
a33
a21 a23
Квадратная матрица
третьего порядка
Определитель третьего
порядка
a21 a22
Определитель третьего
порядка,
a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13 соответствующий
a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11 квадратной матрице A
третьего порядка
a11
a12
a31 a33
a13
a31 a32

25.

a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11 a22 a33 a12 a23 a31 a21 a32 a13
a13 a22 a31 a12 a21 a33 a23 a32 a11
Вычислить с собственными знаками произведения
элементов, лежащих на главной диагонали в вершинах двух
равнобедренных треугольников, основания которых
параллельны этой диагонали.
Найти произведения элементов, лежащих на побочной
диагонали и в вершинах двух равнобедренных
треугольников, основания которых параллельны побочной
диагонали, и взять их с противоположными знаками.
Найти общую сумму всех произведений.

26. Минор Mij элемента aij, где i, j=1, 2, 3 определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из

данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
a11
a21
a31
M 11
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a22
a23
a32
a33
a11M11 a12M12 a13M13
M 12
a21 a23
a31 a33
M 23
M 13
a21 a22
a11
a12
a31
a32
a31 a32

27. Алгебраическое дополнение Aij элемента aij, где i, j=1, 2, 3, называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.

Aij = (-1)i+jMij , где i, j=1, 2, 3.
Определитель равен сумме произведений
элементов любой его строки или столбца
на их алгебраические дополнения.
Δ= a11A11+ a12A12+ a13A13=
= a21A21+ a22A22+ a23A23=
=… … … … … … …=
= a31A31+ a32A32+ a33A33=